6.15 曲線の長さ

定理 6.54 (曲線の長さ)   区間 $[a,b]$ における関数 $y=f(x)$ のグラフの曲線の長さは

$$s = \int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$$ (1095)

により得られる．

注意 6.55 (曲線の長さ)   曲線 $s$ のうちある点 $(x,y)$ のまわりの微小線分を $ds$ とする． このとき $ds$ を斜辺とする直角三角形を考える． その他の辺の長さを $dx$, $dy$ とするとピタゴラスの定理より

$$(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2\,$$ (1096)

が成り立つ． 数学的には厳密ではないが次の展開をすると微小線分 $ds$ は

$$ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx\,$$ (1097)

と表される． 曲線の長さ $s$ は微小線分 $ds$ を全て足し合わせたものだから

$$s=\int_{0}^{s}\,ds= \int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx\,$$ (1098)

となる．

例 6.56 (曲線の長さの計算例)   単位円の円周の長さを考える．$x^2+y^2=1$ より $y=\pm\sqrt{1-x^2}$ だから 多価関数の枝を分けて

$$y_{+} =\sqrt{1-x^2}\,,\quad y_{-}=-\sqrt{1-x^2}\,$$ (1099)

とする．このとき

$$\frac{y_{\pm}}{dx} = \frac{\mp x}{\sqrt{1-x^2}}\,,\quad \sqrt{1+\left(\frac{dy_{\pm}}{dx}\right)^2}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ (1100)

が成り立つ．よって

$$s = \int_{-1}^{1}\sqrt{1+\left(\frac{dy_{+}}{dx}\right)^2}\,dx+ \in... ...dx= 2\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}= 4\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$ (1101)

$$= 4\Big[\mathrm{Sin}^{-1}x\Big]_{0}^{1}= 4\left(\mathrm{Sin}^{-1}(1)-\mathrm{Sin}^{-1}(0)\right)= 4\left(\frac{\pi}{2}-0\right)=2\pi$$ (1102)

を得る．

例 6.57 (曲線の長さの計算例)   $-1\leq x\leq 1$ における曲線 $y=x^2$ の長さ考える． $dy/dx=2x$ であるから曲線の長さ $s$ は

$$s = \int_{-1}^{1}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx= \int_{-1}^{1}\sqrt{1+4x^2}\,dx= 2\int_{0}^{1}\sqrt{1+4x^2}\,dx$$ (1103)

と表される．積分を計算する．置換積分として

$$x =\frac{1}{2}\sinh t\,,\quad \frac{dx}{dt}=\frac{1}{2}\cosh t\,,\quad t:0\to\sinh^{-1}(2)$$ (1104)

とおく．すると

$$s = \int_{0}^{\sinh^{-1}(2)}\cosh t\sqrt{1+\sinh^2t}\,dt$$ (1105)

となる．双曲線関数の性質

$$\cosh^2t-\sinh^2t=1$$ (1106)

を用いると

$$s = \int_{0}^{\sinh^{-1}(2)}\cosh^2 t\,dt$$ (1107)

となる．

$$\cosh^2 t =\frac{1}{2}(\cosh 2t+1)$$ (1108)

を用いると

$$s =\frac{1}{2} \int_{0}^{\sinh^{-1}(2)}(\cosh 2t+1)\,dt= \left[\frac{1}{4}\sinh 2t+\frac{t}{2}\right]_{0}^{\sinh^{-1}(2)}$$ (1109)

$$= \frac{1}{4}\left( \sinh(2\sinh^{-1}(2))-\sinh(2\sinh^{-1}(0))\right)+ \frac{1}{2}\left( \sinh^{-1}(2)-\sinh^{-1}(0)\right)$$ (1110)

$$= \frac{1}{4}\sinh(2\sinh^{-1}(2))+\frac{1}{2}\sinh^{-1}(2)$$ (1111)

となる．ここで

$$\sinh^{-1}t =\log\left(t+\sqrt{t^2+1}\right)$$ (1112)

であることを用いると

$$s = \frac{1}{4} \frac{e^{2\log(2+\sqrt{2^2+1})}-e^{-2\log(2+\sqrt{2^2+1})}}{2}+ \frac{1}{2}\log(2+\sqrt{2^2+1})$$ (1113)

$$= \frac{1}{8} \left( \left(2+\sqrt{5}\right)^2-\left(\frac{1}{2+\sqrt{5}}\right)^2 \right)+ \frac{1}{2}\log(2+\sqrt{5})$$ (1114)

$$= \frac{1}{8} \left( \left(\frac{1}{\sqrt{5}-2}\right)^2-\left(\frac{1}{\sqrt{5}+2}\right)^2 \right)+ \frac{1}{2}\log(2+\sqrt{5})$$ (1115)

$$= \frac{1}{8} \frac{(\sqrt{5}+2)^2-(\sqrt{5}-2)^2}{(\sqrt{5}-2)^2(\sqrt{5}+2)^2}+ \frac{1}{2}\log(2+\sqrt{5})= \sqrt{5}+\frac{1}{2}\log(2+\sqrt{5})$$ (1116)

を得る．

Kondo Koichi
平成17年8月31日