6.14 図形の面積

定理 6.52 (図形の面積)   曲線 $y=f(x)$, $y=g(x)$ と直線 $x=a$, $x=b$ とで囲まれてできる領域の 面積は

$$S = \int_{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx$$ (1082)

により求まる．

例 6.53 (図形の面積の計算例)   単位円 $x^2+y^2=1$ の内部の領域の面積を求める． 円の方程式は書き直すと

$$y =\pm\sqrt{1-x^2}$$ (1083)

と表される．$y(x)$ は 2 価関数である． 枝をそれぞれ

$$f(x) =\sqrt{1-x^2}\,,\quad g(x)=-\sqrt{1-x^2}$$ (1084)

とおく．このとき円の面積は

$$S = \int_{-1}^{1}(f(x)-g(x))\,dx= \int_{-1}^{1}\left(\sqrt{1-x^2}-\left(-\sqrt{1-x^2}\right)\right)\,dx= 2\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx$$ (1085)

$$= 4\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx$$ (1086)

$$x=\cos t dx/dt=-\sin t x:0\to1 t:\pi/2\to0$$ (1087)

$$= 4\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\sqrt{1-\cos^2t}(-\sin t)\,dt$$ (1088)

$$\cos^2t+\sin^2=1$$ (1089)

$$= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\vert\sin t\vert\sin t\,dt$$ (1090)

$$0\leq t\leq\pi/2 \sin t\ge0$$ (1091)

$$= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 t\,dt$$ (1092)

$$\sin^2 t=(1-\cos2t)/2$$ (1093)

$$= 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos 2t)\,dt= \Big[2t-\sin 2t\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}}= 2\times\frac{\pi}{2}-0-\sin(\pi)+\sin(0)=\pi$$ (1094)

と求まる．

Kondo Koichi
平成17年8月31日