5 数ベクトル空間

定義 1.20 ($n$ 次元実ベクトル空間)   要素が実数の列ベクトル全体の集合

$$\mathbb{R}^{n}= \left\{ \left. \vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} \\ a... ...\ a_{n} \end{bmatrix} \right\vert a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in\mathbb{R}\right\}$$

に次の演算が定義されているとき， $\mathbb{R}^{n}$ を $n$ 次元実ベクトル空間 （$n$-dimensional real vector space）という．

(i) ベクトル $${\vec{a}= \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{n}}$$ とスカラー $\alpha\in\mathbb{R}$ に対して スカラー倍を次のように定義する：

$$\alpha\vec{a}= \begin{bmatrix}\alpha a_{1} \\ \alpha a_{2} \\ \vdots \\ \alpha a_{n} \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{n}$$

(ii) ベクトル $${ \vec{a}= \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \... ...{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{n} }$$ に対してベクトルの和を 次のように定義する：

$$\vec{a}+\vec{b}= \begin{bmatrix}a_{1}+b_{1} \\ a_{2}+b_{2} \\ \vdots \\ a_{n}+b_{n} \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{n}$$

定義 1.21 ($n$ 次元複素ベクトル空間)   要素が複素数の列ベクトル全体の集合

$$\mathbb{C}^{n}= \left\{ \left. \vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} \\ a... ...\ a_{n} \end{bmatrix} \right\vert a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in\mathbb{C}\right\}$$

に次の演算が定義されているとき， $\mathbb{C}^{n}$ を $n$ 次元複素ベクトル空間 （$n$-dimensional complex vector space）という．

(i) ベクトル $${\vec{a}= \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix}\in\mathbb{C}^{n}}$$ とスカラー $\alpha\in\mathbb{C}$ に対して スカラー倍を次のように定義する：

$$\alpha\vec{a}= \begin{bmatrix}\alpha a_{1} \\ \alpha a_{2} \\ \vdots \\ \alpha a_{n} \end{bmatrix} \in\mathbb{C}^{n}$$

(ii) ベクトル $${ \vec{a}= \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \... ...{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix}\in\mathbb{C}^{n} }$$ に対してベクトルの和を 次のように定義する：

$$\vec{a}+\vec{b}= \begin{bmatrix}a_{1}+b_{1} \\ a_{2}+b_{2} \\ \vdots \\ a_{n}+b_{n} \end{bmatrix} \in\mathbb{C}^{n}$$

定義 1.22 (数ベクトル空間)   $\mathbb{R}^{n}$, $\mathbb{C}^{n}$ を 数ベクトル空間という．

注意 1.23 (零ベクトル)   $\mathbb{R}^{n}$ または $\mathbb{C}^n$ の 零ベクトル（zero vector）を

$$\vec{0}= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$$

と定義する． 零ベクトルは

$$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}\,, \qquad \vec{0}+\vec{a}=\vec{a}$$

をみたす．

注意 1.24 (逆ベクトルと差)   $\vec{a}$ の逆ベクトルを

$$-\vec{a}=(-1)\vec{a}= \begin{bmatrix}-a_{1} \\ -a_{2} \\ \vdots \\ -a_{n} \end{bmatrix}$$

と定義する． また， $\vec{a}$ と $\vec{b}$ との差を

$$\vec{b}-\vec{a}= \vec{b}+(-1)\vec{a}$$

と定義する．

定理 1.25 (ベクトルの演算の性質)   ベクトル $\vec{a},\vec{b},\vec{c}\in\mathbb{R}^n$ （または $\mathbb{C}^n$） とスカラー $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ （または $\mathbb{C}$）に対して 次の性質が成立する：

(i)

（交換則） $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$.

(ii)

（結合則） $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}= \vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$.

(iii)

（スカラー倍に関する結合則） $\alpha(\beta\vec{a})=(\alpha\beta)\vec{a}$.

(iv)

（スカラー倍に関する分配即） $(\alpha+\beta)\vec{a}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{a}$.

(v)

（スカラー倍に関する分配即） $\alpha(\vec{a}+\vec{b})=\alpha\vec{a}+\alpha\vec{b}$.

問 1.26 (ベクトルの演算の性質)   この定理をスカラー倍とベクトルの和の定義を用いて証明せよ．

Kondo Koichi
Created at 2004/12/13