3 集合算

定義 1.9 (和，積)    

• $X$ と $Y$ の合併集合（union, join）または 和集合（sum）:

  $$X\cup Y = \left\{ x\,\vert\, x\in X \text{または} x\in Y \right\}$$

  
  

• $X$ と $Y$ の共通部分（intersection）または 積集合（product）：

  $$X\cap Y = \left\{ x\,\vert\, x\in X \text{かつ} x\in Y \right\}$$

  
  

定理 1.10 (和集合，積集合の性質)    

• 可換則（commutative law）：

  $$X\cup Y=Y\cup X, \qquad X\cap Y=Y\cap X$$

  
  

• 結合則（associative law）：

  $$(X\cup Y)\cup Z= X\cup (Y\cup Z), \qquad (X\cap Y)\cap Z= X\cap (Y\cap Z)$$

  
  

• 分配則（distributive law）：

  $$X\cup(Y\cap Z)= (X\cup Y)\cap(X\cup Z), \qquad X\cap(Y\cup Z)=(X\cap Y)\cup (X\cap Z)$$

  
  

• 吸収則（absorption law）：

  $$X\cup(X\cap Y)=X, \qquad X\cap(X\cup Y)=X$$

  
  

問 1.11 (和集合，積集合の性質)   これを図を書いて示せ．

定義 1.12 (互いに素)   $X\cap Y=\emptyset$ のとき $X$ と $Y$ は 互いに素（disjoint）であるという．

注意 1.13 (直和集合)   $X$ と $Y$ が互いに素のとき， すなわち $X\cap Y=\emptyset$ をみたすとき， 和集合を $X\cup Y=X+Y$ と書き， 直和集合（disjoint union）という．

注意 1.14 (直積集合)   直積集合：

$$X\times Y= \left\{(x,y)\,\vert\, x\in X,\, y\in Y \right\}$$

Kondo Koichi
Created at 2004/12/13