5 線形写像

定義 2.19 (線形写像)   ベクトル空間 $U$ からベクトル空間 $V$ への写像

$$f:U\to V$$

が

$$f(\alpha\vec{x}_{1}+\beta\vec{x}_{2})= \alpha f(\vec{x}_{1})+ \be... ... \forall \alpha,\beta\in\mathbb{R}, \quad \forall \vec{x}_{1}\,\vec{x}_{2}\in U$$

をみたすとき $f$ を線形写像（linear mapping） または1 次写像という．

$U=V$ のとき $f$ を 線形変換（linear transformation）または 1 次変換という．

注意 2.20 (零ベクトル)   線形写像 $f$ は零ベクトル $\vec{0}_{U}\in U$ を 零ベクトル $\vec{0}_{V}\in V$ へ写す． なぜなら， $\alpha=\beta=0$ とすると定義式より

$$f(0\vec{x}_1+0\vec{x}_2) = 0 f(\vec{x}_1)+0 f(\vec{x}_2)$$

$$f(\vec{0}_U) =\vec{0}_V$$

となるからである．

例 2.21 (線形写像の具体例)   写像 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};y=f(x)=ax$ は線形写像である． なぜなら，

$$f(\alpha x_{1}+x_{2})=a(\alpha x_{1}+\beta x_{2})= \alpha(a x_{1})+\beta(a x_{2})= \alpha f(x_{1})+\beta f(x_{2})$$

をみたすからである．

問 2.22 (線形写像)   次の写像は線形写像ではないことを示せ．

$$(1) \quad f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\quad y=f(x)=ax+b,\quad b\neq 0$$

$$(2) \quad f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\quad y=f(x)=ax^2+b$$

例 2.23 (線形写像の具体例)   写像 $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m};$

$$\vec{y}= \begin{bmatrix}y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{m} \end{bm... ...n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}$$

は線形写像である． なぜなら，

$$f(\alpha\vec{x}_{1}+\beta\vec{x}_{2})= A(\alpha\vec{x}_{1}+\beta\... ...a(A\vec{x}_{1})+\beta(A\vec{x}_{2})= \alpha f(\vec{x}_{1})+\beta f(\vec{x}_{2})$$

をみたすからである．

問 2.24 (線形写像)   次の写像は線形写像ではないことを示せ．

$$(1) \quad f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}; \vec{y}=A\vec{x}+\vec{b},\quad \vec{b}\neq\vec{0}$$

$$(2) \quad f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}; \vec{y}={\vec{x}}^{T}A\vec{x}$$

例 2.25 (線形写像の具体例)   写像 $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R};y=f(\vec{x})=(\vec{a},\vec{x})$ は 線形写像である． ただし， $\vec{a}\in\mathbb{R}^{3}$ とする．

例 2.26 (線形写像の具体例)   写像 $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}; y=f(\vec{x})=\vec{x}-(\vec{x},\vec{e}_{3})\vec{e}_{3}$ は 線形変換である． $f$ は点 $\vec{x}\in\mathbb{R}^{3}$ の平面 $x_{1}x_{2}$ への 射影変換である．

Kondo Koichi
Created at 2004/12/13