16 部分空間

定義 1.70 (部分空間)   ベクトル空間 $V$ の部分集合 $W$ がベクトル空間となるとき， $W$ を $V$ の部分空間（subspace）という．

定理 1.71 (部分空間)   $V$ の部分集合 $W$ が $V$ の部分空間となるための 必用十分条件は， すべての $\vec{a},\vec{b}\in W$ と $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ に対して $\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}\in W$ をみたすことである．

注意 1.72 (部分空間と零ベクトル)   部分空間 $W$ は零ベクトル $\vec{0}$ を含む． なぜなら， 部分空間の必用十分条件で $\alpha=\beta=0$ とおくと

$$0\vec{a}+0\vec{b}=\vec{0}\in W$$

となるからである．

例 1.73 (部分空間の具体例)   連立方程式 $A\vec{x}=\vec{0}$ の解の集合

$$W=\left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^n \,\left\vert\, A\vec{x}=\vec{0}\right. \right\}$$

は $\mathbb{R}^n$ の部分空間である． 一方， 連立方程式 $A\vec{x}=\vec{b}\,(\neq\vec{0})$ の解の集合

$$W=\left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^n \,\left\vert\, A\vec{x}=\vec{b}\right. \right\}$$

は $\mathbb{R}^n$ の部分空間ではない．

（証明）     解空間の節を参照．

例 1.74 (部分空間ではない具体例)   集合

$$W=\left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^2 \,\left\vert\, x_{1}{}^2+x_{2}{}^2=1 \right. \right\}$$

は $\mathbb{R}^2$ の部分空間ではない． なぜなら，

$$W\ni \vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{b}= \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \mathbb{R}\ni \alpha=1, \quad \beta=1$$

に対して

$$\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}= 1 \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}... ...in{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix} \not\in W$$

となるからである．

例 1.75 (部分空間ではない具体例)   集合

$$W=\left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^2 \,\left\vert\, x_{1}\ge0,\, x_{2}\ge0 \right. \right\}$$

は $\mathbb{R}^2$ の部分空間ではない． なぜなら，

$$W\ni \vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{b}=... ...gin{bmatrix}0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \mathbb{R}\ni \alpha=-1, \quad \beta=0$$

に対して

$$\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}= -1 \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix... ...n{bmatrix}0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 \\ 0 \end{bmatrix} \not\in W$$

となるからである．

Kondo Koichi
Created at 2004/12/13