11 余因子

定義 4.72 (小部分行列と余因子) 次正方行列 $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ の第行と第列を取り除いた次の小行列を

$\displaystyle A_{ij}= \left[ \begin{array}{ccc\vert ccc} a_{1,1} & \cdots & a_{... ...n,1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{array} \right]$

(694)

と書く．このとき行列 $A_{ij}$ の行列式 $\det(A_{ij})$ に符合をつけた数

$\displaystyle \Delta_{ij}=(-1)^{i+j}\det(A_{ij})$

(695)

をにおける $A_{ij}$ の余因子（cofactor）と呼ぶ．

例 4.73 (余因子の具体例) 行列

$\displaystyle A$

$\displaystyle = \begin{bmatrix}3 & 1 & -2 \\ 4 & -3 & 0 \\ 2 & 6 & 5 \end{bmatrix}$

(696)

を考える．このとき小行列

$\displaystyle A_{12}$

$\displaystyle = \begin{bmatrix}4 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}\,,\qquad A_{22}= \begin{bmatrix}3 & -2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$

(697)

より，余因子は

$\displaystyle \Delta_{12}$	$\displaystyle = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix}4 & 0 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}= -(20-0)=-20\,,$	(698)
$\displaystyle \Delta_{22}$	$\displaystyle = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix}3 & -2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}= +(15+4)=19$	(699)

である．