2 行列のいろいろ

定義 2.2 (零行列) 成分が全て零の行列

$\displaystyle O$

$\displaystyle =O_{m,n}= \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ & \cdots & & & 0 \\ 0 & \cdots & & & 0 \end{bmatrix}\,$

(205)

を零行列（zero matrix）と呼ぶ． $O_{m,n}$ は $m\times n$ 型の零行列を意味する．

定義 2.3 (正方行列) 行と列の数が等しい行列

$\displaystyle A$

$\displaystyle = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_... ...& \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}\,$

(206)

を正方行列（square matrix）と呼ぶ．行列の成分のうち左上から右下へ並んでいる成分 $a_{11}$ , $a_{22}$ , $\cdots$ , $a_{nn}$ を 対角成分（diagonal components）と呼ぶ．

定義 2.4 (対角行列) 対角成分以外の成分が全て零の正方行列

$\displaystyle A$

$\displaystyle = \begin{bmatrix}a_{11} & & & & \smash{\lower1.7ex\hbox{\text{\hu... ... & & \\ & & & \ddots & \\ \smash{\text{\huge$0$}}& & & & a_{nn} \end{bmatrix}\,$

(207)

を対角行列（diagonal matrix）と呼ぶ．

定義 2.5 (単位行列) 対角成分がすべての対角行列

$\displaystyle E$

$\displaystyle =E_{n}=I=I_{n}= \begin{bmatrix}1 & & & \smash{\lower1.7ex\hbox{\t... ...}}}\\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ \smash{\text{\huge$0$}}& & & 1 \end{bmatrix}\,$

(208)

を単位行列（unit matrix）と呼ぶ． $n\times n$ の単位行列を $E_{n}$ と書き次の単位行列と呼ぶ．単位行列は後述するように行列の積において ``'' の役割をはたす．

例 2.7 (スカラー行列の具体例)

$\displaystyle \begin{bmatrix}2 & & \smash{\lower1.7ex\hbox{\text{\huge$0$}}}\\ ... ...-1 & \\ \smash{\text{\huge$0$}}& & -1 \\ \end{bmatrix}\,,\qquad E\,,\qquad O\,.$

(209)

定義 2.8 (上三角行列) 対角成分を除く左下半分がすべて 0 の正方行列

$\displaystyle A$

$\displaystyle = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ 0 ... ...\ddots & \vdots \\ \smash{\text{\huge$0$}}& & \cdots & 0 & a_{nn} \end{bmatrix}$

(210)

を上三角行列（upper triangular matrix）と呼ぶ．

定義 2.9 (下三角行列) 対角成分を除く右上半分がすべて 0 の正方行列

$\displaystyle A$

$\displaystyle = \begin{bmatrix}a_{11} & 0 & & & \smash{\lower1.7ex\hbox{\text{\... ...\\ \vdots & & & \ddots & 0 \\ a_{n1} & a_{n2} & & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$

(211)

を下三角行列（lower triangular matrix）と呼ぶ．

定義 2.10 (転置行列) 行と列の成分を入れ換えた行列

$\displaystyle {A}^{T}$

$\displaystyle = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{21} & a_{31} & \cdots & a_{m1} \\ a_... ...& \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & a_{3n} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}\,$

(212)

を転置行列（transposed matrix）と呼ぶ．行と列を入れ換える演算を転置（transpose）をとるという．転置された行列を ${A}^{T}$ と書く．また ${}^{t}A$ と書くこともある．

例 2.11 (転置の具体例)

$\displaystyle A$

$\displaystyle = \begin{bmatrix}1 & 3 & -2 \\ 4 & 5 & 2 \end{bmatrix}\,,\qquad {A}^{T}= \begin{bmatrix}1 & 4 \\ 3 & 5 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}\,.$

(213)

問 2.12 ${({A}^{T})}^{T}=A$ を示せ．

（証明） $A=[a_{ij}]$ , ${A}^{T}=[b_{ij}]$ とおく．行と列を入れ換えるので ${A}^{T}$ は ${A}^{T}=[a_{ji}]$ とも書ける．つまり $b_{ij}=a_{ji}$ となる．転置をとる操作を成分でみると，行と列の添字を入れ換える操作に対応する．よって

$\displaystyle {({A}^{T})}^{T}$

$\displaystyle = {({[a_{ij}]}^{T})}^{T}= {([a_{ji}])}^{T}= [a_{ij}]=A$

(214)

となる．証明終了．

例 2.14 (対称行列の具体例)

$\displaystyle A$

$\displaystyle = \begin{bmatrix}1 & 4 & 6 \\ 4 & 2 & 5 \\ 6 & 5 & 3 \end{bmatrix}$

(215)

問 2.15 (対称行列の一般的な表現) 対称行列は正方行列で一般に

$\displaystyle A$

$\displaystyle = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_... ...& \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & a_{3n} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}\,$

(216)

と表わされる．これを示せ．

定義 2.16 (歪対称行列) $A=-{A}^{T}$ を満たす行列を 歪対称行列（skew symmetric matrix） または， 交代行列（alternative matrix） と呼ぶ．

例 2.17 (歪対称行列の具体例)

$\displaystyle A$

$\displaystyle = \begin{bmatrix}0 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 2 \\ 3 & -2 & 0 \end{bmatrix}$

(217)

問 2.18 (対称行列の一般的な表現) 歪対称行列は正方行列で一般に

$\displaystyle A$

$\displaystyle = \begin{bmatrix}0 & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ -a_{12}... ...s & & \ddots & \vdots \\ -a_{1n} &-a_{2n} &-a_{3n} & \cdots & 0 \end{bmatrix}\,$

(218)

と表わされる．これを示せ．

定義 2.20 (共役行列) 全ての要素を複素共役をとした行列

$\displaystyle \overline{A}$

$\displaystyle = \begin{bmatrix}\overline{a}_{11} & \overline{a}_{12} & \cdots &... ...overline{a}_{m1} & \overline{a}_{m2} & \cdots & \overline{a}_{mn} \end{bmatrix}$

(219)

を共役行列??（???）という．

定義 2.21 (共役転置行列) 共役かつ転置な行列

$\displaystyle A^{*}$

$\displaystyle = {(\overline{A})}^{T}= \overline{({A}^{T})}= \begin{bmatrix}\ove... ...overline{a}_{1m} & \overline{a}_{2m} & \cdots & \overline{a}_{nm} \end{bmatrix}$

(220)

を共役転置行列（????）という．

定義 2.28 (逆行列) 行列に対してを満たす行列を 逆行列（inverse matrix）といい， $B=A^{-1}$ と表記する．読み方は A inverse である．