1 $2$ 変数関数

定義 1.1 ($2$ 変数関数)  

$$z=f(x,y)$$ (1)

$x,y$ は独立変数， $z$ は従属変数．

例 1.2 ($2$ 変数関数の具体例)  

$$f(x,y)=x^2+5xy+2y^2$$ (2)

$$f(2,-3)=(2)^2+5(2)(-3)+2(-3)^2=-8$$ (3)

定義 1.3 (定義域)   $z=f(x,y)$ の定義域（domain） $D$ は $xy$ 平面上の領域である． 境界を含む場合を閉領域（closed domain）と呼び， 境界を含まない場合を開領域（open domain）と呼ぶ．

例 1.4 (定義域の具体例)  

$$D_{1} =\{(x,y)\,\vert\, a\leq x\leq b,c\leq y\leq d\}$$ (4)

$$D_{2} =\{(x,y)\,\vert\, a<x<b,c<y<\}$$ (5)

$D_1$ は境界を含む長方形領域． $D_2$ は境界を含まない長方形領域．

例 1.5 (定義域の具体例)  

$$D_{1} =\{(x,y)\,\vert\,x^2+y^2\leq a^2\}$$ (6)

$$D_{2} =\{(x,y)\,\vert\,x^2+y^2< a^2\}$$ (7)

$D_1$ は原点を中心とする半径 $a$ の円の境界とその内部の領域． $D_2$ は原点を中心とする半径 $a$ の円の内部の領域．

注意 1.6 (実平面)   実 $2$ 次元平面

$$\mathbb{R}^{n}=\{ (x,y)\,\vert\, -\infty<x<\infty, -\infty<y<\infty \}$$

は開領域である．

注意 1.7 ($2$ 変数関数のグラフ)   $x=f(x,y)$ をみたす点 $(x,y,z)$ の集合は $3$ 次元空間 $\mathbb{R}^{3}$ 内の曲面を表す． この曲面を関数 $z=f(x,y)$ のグラフという．

Kondo Koichi
Created at 2004/10/21