13 関数の増減と極値

定義 5.52 (増加，減少，極値) を十分小さい正の数とする．このとき関数に関して次の性質を定義する．

極大値，極小値を総称して極値と呼ぶ．

定理 5.53 (微分係数と増減，極値) 微分係数と関数の増減および極値の関係に関して次のことがいえる．

（証明）関数をテイラー展開して

$\displaystyle f(x)$

$\displaystyle =f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+O\left((x-a)^3\right)$

(772)

を得る． $x=a\pm h$ とおくと

$\displaystyle f(a+h)$	$\displaystyle = f(a)+f'(a)\,h+\frac{f''(a)}{2}h^2+O(h^3)$	(773)
$\displaystyle f(a-h)$	$\displaystyle = f(a)-f'(a)\,h+\frac{f''(a)}{2}h^2+O(h^3)$	(774)

となる．を十分小さな正の値として考える．以降の項は十分小さく無視できる．のとき

$\displaystyle f(a)-f'(a)\,h<f(a)<f(a)+f'(a)\,h$

(775)

が成り立つので，テイラー展開の次の項を無視しすれば

$\displaystyle f(a-h)<f(a)<f(a+h)$

(776)

を得る．よっては増加の状態にある．次にのとき，同様に

$\displaystyle f(a)-f'(a)\,h>f(a)$	$\displaystyle >f(a)+f'(a)\,h$	(777)
$\displaystyle \Rightarrow f(a-h)>f(a)$	$\displaystyle >f(a+h)$	(778)

となるので，は減少の状態にある．次に , のとき，

$\displaystyle f(a)+\frac{f''(a)}{2}\,h^2<f(a)$	$\displaystyle >f(a)+\frac{f''(a)}{2}\,h^2$	(779)
$\displaystyle \Rightarrow f(a-h)<f(a)$	$\displaystyle >f(a+h)$	(780)

となるので，はにおいて極大値をとる．最後に , のとき，

$\displaystyle f(a)+\frac{f''(a)}{2}\,h^2>f(a)$	$\displaystyle <f(a)+\frac{f''(a)}{2}\,h^2$	(781)
$\displaystyle \Rightarrow f(a-h)>f(a)$	$\displaystyle <f(a+h)$	(782)

となるので，はにおいて極小値をとる．