9 テイラー級数による関数の近似

定義 5.37 (関数の近似)   関数 $f(x)$ を テイラー級数

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}$$ (702)

で表わし， $n$ 次の項で打ち切った関数

$$\tilde{f}_{n}(x) = f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^{2}+\cdots+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$$ (703)

を $f(x)$ の $n$ 次近似と呼ぶ．

具体的に書くと

$$\quad f(x)\simeq\tilde{f}_{0}(x)=f(a)$$ 0 次近似： (704)

$$1 \quad f(x)\simeq\tilde{f}_{1}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$ (705)

$$2 \quad f(x)\simeq\tilde{f}_{2}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+ \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2$$ (706)

$$\qquad\vdots$$ (707)

$$n \quad f(x)\simeq\tilde{f}_{n}(x)= f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^{2}+\cdots$$ (708)

$$\qquad\qquad\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} n$$ (709)

と表される． テイラー級数による関数の近似では $f(x)$ を多項式で近似する．

注意 5.38   近似式 $\tilde{f}_{n}(x)$ は 曲線 $y=f(x)$ に点 $x=a$ で接する $n$ 次多項式である．

例 5.39 (関数の近似の具体例)  

$$f(x) =e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$$ (710)

$$f(x) \simeq \tilde{f}_{0}(x)=1$$ (711)

$$f(x) \simeq \tilde{f}_{1}(x)=1+x$$ (712)

$$f(x) \simeq \tilde{f}_{2}(x)=1+x+\frac{x^2}{2}$$ (713)

$$f(x) \simeq \tilde{f}_{3}(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$$ (714)

例 5.40 (関数の近似の具体例)  

$$f(x) =\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots$$ (715)

$$f(x) \simeq \tilde{f}_{0}(x)=0$$ (716)

$$f(x) \simeq \tilde{f}_{1}(x)=\tilde{f}_{2}(x)=x$$ (717)

$$f(x) \simeq \tilde{f}_{3}(x)=\tilde{f}_{4}(x)=x-\frac{x^3}{6}$$ (718)

$$f(x) \simeq \tilde{f}_{5}(x)=\tilde{f}_{6}(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$$ (719)

Kondo Koichi
Created at 2004/08/14