13 逆三角関数

三角関数の逆関数を 逆三角関数（inverse trigonometric function）と呼び， $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$ の逆関数をそれぞれ

$$y =\sin^{-1}x=\arcsin x\,\qquad (-1\le x\le1)$$ (60)

$$y =\cos^{-1}x=\arccos x\,\qquad (-1\le x\le1)$$ (61)

$$y =\tan^{-1}x=\arctan x\,\qquad (-\infty<x<\infty)$$ (62)

と書き表す． 読み方は上から sine inverse, cosine inverse, tangent inverse または arc sine, arc cosine, arc tangent である． 逆三角関数は多価関数となる． 任意の $x$ に対して無限個の $y$ が存在する． 主値をとり一価関数とした逆三角関数を表すには特に

$$y =\mathrm{Sin}^{-1}x=\mathrm{Arcsin}\,x\, \qquad(-1\le x\le1) \qquad\left(-\frac{\pi}{2}\le y\le\frac{\pi}{2}\right)$$ (63)

$$y =\mathrm{Cos}^{-1}x=\mathrm{Arccos}\,x\, \qquad(-1\le x\le1) \qquad(0\le y\le\pi)$$ (64)

$$y =\mathrm{Tan}^{-1}x=\mathrm{Arctan}\,x\, \qquad(-\infty<x<\infty) \qquad\left(-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}\right)$$ (65)

と書く．

問 2.37 (逆三角関数のグラフ)   逆三角関数の概形を書け．

例 2.38 (逆三角関数の値)  

$$\mathrm{Sin}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\,, \qquad... ...{6}\,, \qquad \mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\,.$$ (66)

問 2.39 (逆三角関数の値)   次の値を求めよ．

$$\mathrm{Sin}^{-1}\left(0\right)\,, \mathrm{Sin}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\,, \mathrm{Sin}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\,, \mathrm{Sin}^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\,, \mathrm{Sin}^{-1}\left(1\right)\,,$$ (67)

$$\mathrm{Cos}^{-1}\left(0\right)\,, \mathrm{Cos}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\,, \mathrm{Cos}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\,, \mathrm{Cos}^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\,, \mathrm{Cos}^{-1}\left(1\right)\,,$$ (68)

$$\mathrm{Tan}^{-1}\left(0\right)\,, \mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\,, \mathrm{Tan}^{-1}\left(1\right)\,, \mathrm{Tan}^{-1}\left(\sqrt{3}\right)\,.$$ (69)

Kondo Koichi
Created at 2004/08/14