13 定積分の計算

定理 5.41 (置換積分)   積分変数を $x=\phi(t)$ と置き換えると定積分は

$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx= \int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)}f(\phi(t))\phi'(t)\,dt= \int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)}f(\phi(t))\frac{dx}{dt}dt$$ (968)

と表される．

例 5.42 (置換積分の計算例)  

$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\sin^2 x}\,dx= \int_{0}^{1}\frac{\frac{dt}{dx}}{1+t^2} \frac{dx}{dt}dt= \int_{0}^{1}\frac{dt}{1+t^2}$$ (969)

$$= \Big[\mathrm{Tan}^{-1} x\Big]_{0}^{1}= \mathrm{Tan}^{-1}(1)-\mathrm{Tan}^{-1}(0)= \frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}\,.$$ (970)

ここで $t=\sin x$ とおいた．このとき

$$\frac{dt}{dx}=\cos x\,,\quad \frac{dx}{dt}=\left(\frac{dt}{dx}\right)^{-1}= \frac{1}{\cos x}$$ (971)

であることを用いた． また積分区間は $${0\leq x\leq \frac{\pi}{2}}$$ から $${0=\sin(0)\leq t\leq 1=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}$$ へと変わる．

定理 5.43 (部分積分)  

$$\int_{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx= \Big[f(x)g(x)\Big]_{a}^{b}- \int_{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx\,.$$ (972)

例 5.44 (部分積分の計算例)  

$$I = \int_{0}^{\pi}x\,\sin x\,dx= \int_{0}^{\pi}x\,(-\cos x)'\,dx= \Big[-x\cos x\Big]_{0}^{\pi}- \int_{0}^{\pi}1\times(-\cos x)\,dx$$ (973)

$$= \Big[-x\cos x\Big]_{0}^{\pi}+ \int_{0}^{\pi}\cos x\,dx= \Big[-x... ...Big]_{0}^{\pi}+ \Big[\sin x\Big]_{0}^{\pi}= \Big[-x\cos x+\sin x\Big]_{0}^{\pi}$$ (974)

$$= (-\pi\cos\pi+\sin\pi)-(-0\times\cos0+\sin0)=\pi\,.$$ (975)

定理 5.45 (偶関数，奇関数の定積分)   関数 $f(x)$ が偶関数のとき

$$\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_{0}^{a}f(x)\,dx\,.$$ (976)

関数 $f(x)$ が奇関数のとき

$$\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0\,.$$ (977)

問 5.46 (三角関数の定積分)   自然数 $n,m\in\mathbb{N}$ に対して

$$\int_{0}^{2\pi}\sin nx\,dx=0\,,$$ (978)

$$\int_{0}^{2\pi}\cos nx\,dx=0\,,$$ (979)

$$\int_{0}^{2\pi}\sin nx\,\sin mx\,dx=\pi\delta_{n,m}\,,$$ (980)

$$\int_{0}^{2\pi}\sin nx\,\cos mx\,dx=0\,,$$ (981)

$$\int_{0}^{2\pi}\cos nx\,\cos mx\,dx=\pi\delta_{n,m}\,$$ (982)

となることを示せ（ヒント：積和の公式）． ただし， $\delta_{n,m}$ はクロネッカーのデルタ（Kronecker's delta） である．

問 5.47 (三角関数の定積分)   定積分

$$I_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x\,dx\,,\quad J_{n}= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\,dx\,\qquad (n=0,1,2,\cdots)$$ (983)

は

$$I_{n}=J_{n}= \frac{(n-1)!!}{n!!}\varepsilon_{n}\,,\qquad \varepsi... ...($n$: 偶数)} \\ [2ex] \displaystyle{1} & \text{($n$: 奇数)} \end{array} \right.$$ (984)

となることを示せ（ヒント: 例 を用いよ）．

例 5.48 (双曲線関数を用いた定積分)   定積分

$$I = \int_{-4}^{-2} \sqrt{x^2-1}\,dx$$ (985)

を考える． 積分区間が $x: -4\to-2$ であるから $x<0$ である． このことに注意して変数変換を

$$x=-\cosh t<0\qquad\left(0<t=\mathrm{Cosh}^{-1}(-x)\right)$$ (986)

とする．このとき積分区間は

$$t: \mathrm{Cosh}^{-1}(4)\to\mathrm{Cosh}^{-1}(2)$$ (987)

となる．また

$$\frac{dx}{dt}=-\sinh t$$ (988)

であることを用いると

$$I = \int_{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}^{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)} \sqrt{\cosh^2t-1}(-\sinh t)\,dt$$ (989)

$$\cosh^2t-\sinh^2t=1$$ (990)

$$= -\int^{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}_{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)} \sinh t \... ...t^{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}_{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)} \sinh t \vert\sinh t\vert\,dt$$ (991)

$$\mathrm{Cosh}^{-1}(2)\leq t\leq\mathrm{Cosh}^{-1}(4) \sinh t>0$$ (992)

$$= \int^{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}_{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)} \sinh^2 t\,dt$$ (993)

$$\sinh^2t=(\cosh 2t-1)/2$$ (994)

$$= \frac{1}{2} \int^{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}_{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)... ... \frac{1}{2}\sinh(2t)-t \right]^{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}_{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)}$$ (995)

$$= \frac{1}{4}\sinh(2\,\mathrm{Cosh}^{-1}(4))- \frac{1}{4}\sinh(2\... ...h}^{-1}(2))- \frac{1}{2}\mathrm{Cosh}^{-1}(4)+ \frac{1}{2}\mathrm{Cosh}^{-1}(2)$$ (996)

となる．ここで

$$\mathrm{Cosh}^{-1}(x)= \log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$$ (997)

であることを用いる．このとき

$$\sinh(2\mathrm{Cosh}^{-1}(x))= \frac{1}{2}\left( e^{2\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}- e^{-2\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}\right)$$ (998)

$$= \frac{1}{2}\left(\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^2- \left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\right)^2\right)$$ (999)

$$= \frac{1}{2}\left( \left(\frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}\right)^2- \left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\right)^2\right)$$ (1000)

$$= \frac{2x\sqrt{x^2-1}} {\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^2\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^2}= 2x\sqrt{x^2-1}$$ (1001)

より

$$\frac{1}{4}\sinh(2\mathrm{Cosh}^{-1}(4))-\frac{1}{4}\sinh(2\mathrm{Cosh}^{-1}(2)) = \frac{2\times4}{4}\sqrt{4^2-1}-\frac{2\times2}{4}\sqrt{2^2-1}$$ (1002)

$$=2\sqrt{15}-\sqrt{3}$$ (1003)

となる．また

$$-\frac{1}{2}\mathrm{Cosh}^{-1}(4)+ \frac{1}{2}\mathrm{Cosh}^{-1}(... ...}{2}\log\left(4+\sqrt{4^2-1}\right) +\frac{1}{2}\log\left(2+\sqrt{2^2-1}\right)$$ (1004)

$$=-\frac{1}{2}\log\frac{4+\sqrt{15}}{2+\sqrt{3}}= -\frac{1}{2}\log\frac{2-\sqrt{3}}{4-\sqrt{15}}$$ (1005)

である．よって

$$I =2\sqrt{15}-\sqrt{3}-\frac{1}{2}\log\frac{2-\sqrt{3}}{4-\sqrt{15}}$$ (1006)

を得る．

Kondo Koichi
Created at 2003/08/29