12 定積分と不定積分

定理 5.36 (定積分と不定積分の関係)   関数 $f(x)$ の不定積分から得られる原始関数の一つを

$$F(x)=\int f(x)\,dx$$ (962)

とする．このとき $f(x)$ の $a$ から $b$ までの定積分は

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)= \Big[F(x)\Big]_{a}^{b}=F(x)\Big\vert _{x=a}^{x=b}$$ (963)

と表される．

例 5.37 (定積分の計算例)  

$$\int_{a}^{b}\alpha\,dx= \alpha\int_{a}^{b}\,dx= \alpha\Big[x\Big]_{a}^{b}= \alpha(b-a)\,.$$ (964)

これは長方形の面積を表す．

例 5.38 (定積分の計算例)  

$$\int_{a}^{b}x\,dx= \left[\frac{x^2}{2}\right]_{a}^{b}= \frac{b^2}{2}-\frac{a^2}{2}= \frac{1}{2}(b^2-a^2)= \frac{1}{2}(b-a)(b+a)\,.$$ (965)

これは台形の面積を表す．

例 5.39 (定積分の計算例)  

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx= \Big[\sin x\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}}= \sin\frac{\pi}{2}-\sin 0= 1-0=1\,.$$ (966)

例 5.40 (定積分の計算例)  

$$\int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^2} = \Big[\mathrm{Tan}^{-1} x\Big]_{0}^{1}= \mathrm{Tan}^{-1}(1)-\mathrm{Tan}^{-1}(0)= \frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}\,.$$ (967)

Kondo Koichi
Created at 2003/08/29