5 部分積分法

定理 5.12 (部分積分法)  

$$\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx$$ (826)

これを部分積分法（integration by parts）という．

（証明） 関数 $f(x)g(x)$ を微分すると積の微分公式より

$$(f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$ (827)

を得る．これを両辺を $x$ で積分すると

$$f(x)g(x)= \int(f(x)g(x))'\,dx = \int f'(x)g(x)\,dx+ \int f(x)g'(x)\,dx$$ (828)

となる．移項すると証明終了．

例 5.13 (部分積分法の使用例)  

$$I = \int\log x\,dx= \int\log x(x)'\,dx= x\log x-\int(\log x)'x\,dx$$ (829)

$$= x\log x-\int\frac{1}{x}x\,dx= x\log x-\int dx= x\log x-x+C\,.$$ (830)

例 5.14 (部分積分法の使用例)  

$$I = \int x\sin x\,dx= \int x(-\cos x)'\,dx= -x\cos x+\int (x)'\cos x\,dx$$ (831)

$$= -x\cos x+\int\cos x\,dx= -x\cos x+\sin x+C\,.$$ (832)

Kondo Koichi
Created at 2003/08/29