Next: 16 連続関数 Up: 2 関数 Previous: 14 関数の極限   Contents
15 連続と不連続
定義 2.60 (関数の連続性) 次の条件を満たすとき,関数 は点 において 連続(continuous)であるという.連続ではない場合は不連続(discontinuous)であるいう.
- (i)
- が定義されている.
- (ii)
- が存在する.
すなわち と が存在し,それらの値が等しい.- (iii)
- が成立する.
すなわち が 成立する.
例 2.61 (連続な点の具体例) は において連続である. なぜなら
(302)
が成り立つからである.
例 2.62 (不連続な点の具体例) は において不連続である. なぜなら は定義されていない. さらには となるからである.
例 2.63 (不連続点の除去の具体例) は において 不連続である.なぜなら が定義されていないからである. しかし を
(303)
と定義すると は において連続となる. なぜなら が 成立するからである. 再定義することにより不連続な点 は取り除かれた.
例 2.64 (不連続点を除去できない具体例) は点 において不連続である. 点 における値を と定義することにする. うまく を定めることにより不連続点は取り除くことができるであろうか. , であるので, 点 の左右で極限がことなる.よってどのように を定めても 不連続な点を取り除くことはできない.
例 2.65 (不連続点の除去の具体例) を考える. は点 において不連続である. しかし は分子分母が等しいので, となる点において である.よって となる. ゆえに点 の値を と定義すれば不連続点は取り除かれる. 結局,点 はみかけ上の不連続点であり本質的な不連続点ではない.
問 2.66 参考書(p.36)問題 2-5.
問 2.67 (不連続点の除去の例) 次の関数を で連続となるように の値を定義せよ.
(304) (305) (306)
Next: 16 連続関数 Up: 2 関数 Previous: 14 関数の極限   ContentsKondo Koichi
Created at 2003/08/29