3.15 多重積分の広義積分への応用

例 3.74 (多重積分の広義積分への応用) 広義積分

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}$

を求める．関数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}$ を 誤差関数またはガウシアン（Gaussian）といい，正規分布関数に用いられる．

まず，円の内部の領域と正方形の領域 $\tilde{D}$ を

$\displaystyle D(a)=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a}\,\r... ...left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{-a\leq x\leq a,\,\, -a\leq y\leq a}\,\right\}$

とおき，多重積分

$\displaystyle I=\iint_{D(a)}e^{-(x^2+y^2)}dxdy, \qquad \tilde{I}=\iint_{\tilde{D}(a)}e^{-(x^2+y^2)}dxdy$

を考える．を計算すると

$\displaystyle I$	$\displaystyle = \iint_{D(a)}e^{-(x^2+y^2)}dxdy= \iint_{E(a)}e^{-(r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta)}rdrd\theta= \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{a}re^{-r^2}dr$
	$\displaystyle = \left(\int_0^{2\pi}d\theta\right) \left(\int_0^{a}re^{-r^2}dr\r... ...1.5em width0em depth0.1em\,{-\frac{1}{2}e^{-r^2}}\,\right]_0^a= \pi(1-e^{-a^2})$

となる．ここで，

$\displaystyle E(a)=\left\{\left.\,{(r,\theta)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq r\leq a,\,\, 0\leq\theta\leq2\pi}\,\right\}$

である． $\tilde{I}$ を計算すると

$\displaystyle \tilde{I}$	$\displaystyle = \iint_{\tilde{D}(a)}e^{-(x^2+y^2)}dxdy= \int_{-a}^{a}e^{-x^2}dx... ...2}dy= \left(\int_{-a}^{a}e^{-x^2}dx\right) \left(\int_{-a}^{a}e^{-y^2}dy\right)$
	$\displaystyle = \left(\int_{-a}^{a}e^{-x^2}dx\right)^2$

となる．

次に，領域 , $\tilde{D}(a)$ , $D(\sqrt{2}a)$ を考える．これらは下図 (b) のように包含関係

$\displaystyle D(a)\subset \tilde{D}(a)\subset D(\sqrt{2}a)$

があり，領域の面積には

$\displaystyle S(D(a))<S(\tilde{D}(a))<S(D(\sqrt{2}a))$

と大小関係がある．同じ正の関数に対する異なる領域での多重積分は，領域の面積が大きい方が多重積分の値は大きくなる．よって，

$\displaystyle \iint_{D(a)}e^{-(x^2+y^2)}dxdy < \iint_{\tilde{D}(a)}e^{-(x^2+y^2)}dxdy < \iint_{D(\sqrt{2}a)}e^{-(x^2+y^2)}dxdy$

が成り立つ．これは先ほどの計算結果より

$\displaystyle \pi(1-e^{-a^2})< \left(\int_{-a}^{a}e^{-x^2}dx\right)^2 < \pi(1-e^{-2a^2})$

となる． $a\to\infty$ の極限をとるとはさみうちの定理より，

$\displaystyle \left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\right)^2=\pi$

を得る．よって，

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$

が成り立つ．

$\includegraphics[width=0.45\textwidth]{gauss-f.eps}$	$\includegraphics[width=0.45\textwidth]{gauss-D.eps}$
(a) $e^{-x^2}$	(b) 領域 , $\tilde{D}(a)$ , $D(\sqrt{2}a)$