2.36 平均値の定理

定理 2.156 (平均値の定理)   関数 $f(x)$ が連続かつ微分可能であるとき，

$$\frac{f(a_2)-f(a_1)}{a_2-a_1}=f'(\xi), \qquad a_1<\xi<a_2$$

をみたす $\xi$ が存在する．

定理 2.157 (平均値の定理)   関数 $f(x,y)$ が連続かつ全微分可能であるとき，

$$f(a_2,b_2)-f(a_1,b_1)= f_x(\xi,\eta)(a_2-a_1)+f_y(\xi,\eta)(b_2-b_1), \qquad a_1<\xi<a_2, \quad b_1<\eta<b_2$$

をみたす $\xi$, $\eta$ が存在する．

問 2.158 (平均値の定理)   次の等式が成り立つことを示せ．

$$\log\frac{x+y}{2}=\frac{x+y-2}{x+y-\theta(x+y-2)}, \qquad 0<\theta<1, \quad x>0, \quad y>0$$

平成21年12月2日