3.24 演習問題 〜 線積分

問 3.109 (線積分)   積分路 $C$ を図示しパラメータ表示し，線積分 $I$ を求めよ．
    (1)   $${\int_{C}(x+y)\,dx+xy\,dy}$$, $${C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t,\,\,y=t^2,\,\,t:0\to a}\,\right\}}$$
    (2)   $${\int_{C}(x+y)\,dx+(x+y)\,dy}$$, $C:$ 曲線 $y=x^2$ 上で点 $(0,0)$ から $(2,4)$ へ移動．
    (3)   $${\int_{C}x^2y\,dx+e^{x^2}\,dy}$$, $C:$ 曲線 $y=x^2$ 上で点 $(-1,1)$ から $(3,9)$ へ移動．
    (4)   $${\int_{C_1}(x-y)dx+y\,dy}$$, $C:$ 点 $(1,0)$ から $(2,1)$ へ直線的に移動．
    (5)   $${\int_{C_1}(x-y)dx+y\,dy}$$, $C:$ 点 $(1,0)$ から $(2,0)$ へ直線的に移動， さらに $(2,0)$ から $(2,1)$ へ直線的に移動．
    (6)   $${\int_{C}(x^2+y^2)\,dx+2xy\,dy}$$, $C:$ 点 $(2,1)$ から 点 $(5,-3)$ へ直線的に移動．
    (7)   $${\int_{C}x^2\,dx+2xy\,dy}$$, $C:$ $(1,1)$ から 点 $(-1,3)$ へ直線的に移動．
    (8)   $${\oint_{C}\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy}$$, $${C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\cos t,\,\, y=\sin t,\,\, t:0\to2\pi}\,\right\}}$$
    (9)   $${\oint_{C}y^2\,dx+x^2\,dy}$$, $C:$ $x^2+y^2=1$ 上を正方向に一周．
    (10)   $${\oint_{C}y\,dx+x\,dy}$$, $C:$ $${\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$$ 上を 正方向に一周．
    (11)   $${\oint_{C}xy\,dx+x^2\,dy}$$, $C:$ 単位円を点 $(1,0)$ から点 $(0,1)$ へ正方向に移動．
    (12)   $${\oint_{C}(x^2+y)\,dx+(x-y^2)\,dy}$$, $C:$ $y=x$ と $y=x^2$ で囲まれる領域の境界を正の向きに一周．
    (13)   $${\oint_{C}\frac{dx}{y}+\frac{dy}{x}}$$, $C:$ $x=1$, $y=4$, $y=x^2$ ($x\ge 0$) で囲まれる領域の境界を正の向きに回る 曲線．
    (14)   $${\frac{1}{2}\oint_{C}xdy-ydx}$$, $C=C_1+C_2$, $C_1$: 中心は原点，半径 $2a$ の円を正の向きに一周， $C_2$: 中心は原点，半径 $a$ の円を負の向きに一周．

問 3.110 (グリーンの定理)   次の線積分をグリーンの定理を用いて計算せよ．
    (1)   $${\oint_Cy\,dx-x\,dy}$$, $${C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=a\cos t,\,\, y=a\sin t,\,\, t:0\to2\pi}\,\right\}}$$
    (2)   $${\oint_{C}xy^2\,dx+x^2y\,dy}$$, $C$: 単位円上を正方向に一周．
    (3)   $${\oint_{C}\sin(x^2+3x+e^{x^2})\,dx+(y+y^5)e^{y^2-y}\,dy}$$, $C$: 単位円上を正方向に一周．
    (4)   $${\oint_{C}(e^{x^2}+y)\,dx+(y^5+x^2)\,dy}$$, $C$: 単位円上を正方向に一周．
    (5)   $${\oint_{C}(y^2-y)\,dx+(3y^2x-x)\,dy}$$, $C$: 単位円上を正方向に一周．
    (6)   $${\oint_{C}(xy^2+2x-y)\,dx+(x^2y-x+3y^2)\,dy}$$, $C$: 単位円上を正方向に一周．
    (7)   $${\oint_{C}(x^2+2x^2y-y^3)\,dx+(x^3-2x^2-2xy^2)\,dy}$$, $C$: 単位円上を正方向に一周．
    (8)   $${\oint_{C}2xy\,dx+(x+x^2)\,dy}$$, $C$: 単位円上を正方向に一周．
    (9)   $${\oint_{C}\frac{dx}{y}+\frac{dy}{x}}$$, $C:$ $x=1$, $y=4$, $y=x^2$ ($x\ge 0$) で囲まれる領域の境界を正の向きに回る 曲線．
    (10)   $${\frac{1}{2}\oint_{C}xdy-ydx}$$, $C=C_1+C_2$, $C_1$: 中心は原点，半径 $2a$ の円を正の向きに一周， $C_2$: 中心は原点，半径 $a$ の円を負の向きに一周．

問 3.111 (線積分による面積の計算)   単一曲線内 $C$ で囲まれる領域 $D$ の面積 $S$ は

$$S= \oint_{C}x dy= -\oint_{C}y dx= \frac{1}{2} \oint_{C}x dy-y dx$$

で与えられることを グリーンの定理を用いて示せ． ただし，$C$ は正の向きにまわる曲線とする．

問 3.112 (線積分による面積の計算)   次の曲線 $C$ で囲まれてできる領域 $D$ の面積 $S$ を $${S(D)= \frac{1}{2}\oint_{\partial D}x\,dy-y\,dx}$$ により求めよ．
    (1)   アステロイド $${C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=a\cos^3 t,\,y=a\sin^3 t,\,0\leq t\leq 2\pi}\,\right\}}$$
    (2)   カーディオイド $${D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=r\cos t,y=r\sin t, r=a(1+\cos t), 0\leq t\leq 2\pi}\,\right\}}$$
    (3)   $${C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\cos t,\,y=\sin^5 t,\,0\leq t\leq 2\pi}\,\right\}}$$

問 3.113 (経路に依存しない線積分)   次の線積分 $I$ の値を求めよ．
    (1)   $${\int_{(1,0)}^{(2,1)}xy^2\,dx+x^2y\,dy}$$
    (2)   $${\int_{(0,0)}^{(1,2)}(3x^2y-y^2+2x)\,dx+(x^3-2xy+y^3)\,dy}$$
    (3)   $${\int_{(0,0)}^{(1,2)}(2x e^y+2y e^{2x}-x)\,dx+(x^2e^y+e^{2x}+y^2)\,dy}$$

平成21年1月14日