3.21 線積分と多重積分

定理 3.97 (グリーンの定理)   領域 $D$ 内で関数 $\vec{f}(\vec{x})$ が連続なとき，

$$\oint_{\partial D}\vec{f}(\vec{x})\cdot\,d\vec{x}= \oint_{\partia... ...rac{\partial g(x,y)}{\partial x}- \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right)dxdy$$

が成り立つ．

（証明）     $D$ が $x$ に関して単純な領域

$$\partial D=C_1+C_2+C_3+C_4,$$

$$C_1=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t,\,y=\varphi_1(t),\,t:a\to b}\,\right\},$$

$$C_2=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=b,\,y=t\varphi_2(b)+(1-t)\varphi_1(b),\,t:0\to 1}\,\right\},$$

$$C_3=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t,\,y=\varphi_2(t),\,t:b\to a}\,\right\},$$

$$C_4=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=a,\,y=t\varphi_2(a)+(1-t)\varphi_1(a),\,t:1\to0}\,\right\}$$

であるとき，

$$\oint_{\partial D}f(x,y)dx+g(x,y)dy= \oint_{\partial D}f(x,y)dx+ \oint_{\partial D}g(x,y)dy$$

より，

$$\oint_{\partial D}f(x,y)\,dx= \int_{C_1}f(x,y)\,dx+ \int_{C_2}f(x,y)\,dx+ \int_{C_3}f(x,y)\,dx+ \int_{C_4}f(x,y)\,dx$$

$$= \int_{a}^{b}f(t,\varphi_1(t))dt+0+ \int_{b}^{a}f(t,\varphi_2(t))dt+0$$

$$= - \int_{a}^{b}(f(t,\varphi_2(t))-f(t,\varphi_1(t)))dt = - \int_{a}^{b}(f(x,\varphi_2(x))-f(x,\varphi_1(x)))dx$$

$$= - \int_{a}^{b}dx\left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{... ...}^{b}dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy$$

$$= - \int_{a}^{b}\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dxdy = - \iint_{D}\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dxdy$$

が成り立つ． 任意に与えられた領域を $x$ に関して単純な領域として分割し， 積分を求める．このとき重なり合う境界は向きが異なるので， 積分値は符号が反転し相殺しあう． よって，任意の領域に対しても上式が成立する． 同様にして $D$ が $y$ に関して単純な領域であるとすると

$$\oint_{\partial D}g(x,y)\,dy= \iint_{D}\frac{\partial g(x,y)}{\partial x}dxdy$$

が成り立つ．これらを合わせてグリーンの定理を得る．

注意 3.98 (グリーンの定理)   グリーンの定理は線積分と多重積分の移り合いを表す．

例 3.99 (グリーンの定理の使用例)   $C$ を半径 $a$ の円上を 1 周する有向曲線

$$C=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=a\cos t,\,\, y=a\sin t,\,\, t:0\to2\pi}\,\right\}$$

とする． このとき $C$ の内部の領域は

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}$$

である． 領域 $D$ において関数 $f(x,y)=y$, $g(x,y)=-x$ は連続であるから， 線積分

$$I=\oint_Cy\,dx-x\,dy$$

はグリーンの定理が適用でき，

$$I = \iint_{D}(g_x-f_y)dxdy= \iint_{D}(-1-1)dxdy= -2\iint_{D}dxdy= -2\int_{0}^{a}r\,dr\int_{0}^{2\pi}d\theta= -2\pi a^2$$

と計算される．

例 3.100 (グリーンの定理)   線積分

$$I =\oint_{C}\frac{dx}{y}+\frac{dy}{x}$$

を計算する． ただし， 積分路 $C$ は $x=1$, $y=4$, $y=x^2$ ($x\ge 0$) で囲まれる領域の境界を 正の向きに回るとする． 積分路 $C$ 内の領域を

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{1\le x\le 2,\, x^2\le y\le 4}\,\right\}$$

とおく． 領域 $D$ 内で $${f(x,y)=\frac{1}{y}}$$, $${g(x,y)=\frac{1}{x}}$$ は連続であるから， グリーンの定理が適用可能である． これを用いると，

$$I =\iint_{D}(g_x-f_y)\,dxdy= \iint_{D}\left(-\frac{1}{x^2}+\frac{1}... ...\,dxdy= \int_{1}^{2}dx\int_{x^2}^{4}\left(-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)dy$$

$$= \int_{1}^{2}dx \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{-... ...th0em depth0.1em\,{\frac{3}{x}+\frac{3}{4}x}\,\right]_{x=1}^{x=2}= -\frac{3}{4}$$

と求まる．

例 3.101 (グリーンの定理)   周回積分

$$I=\frac{1}{2}\oint_{C}xdy-ydx$$

を求める． ただし，積分路は $C=C_1+C_2$, $C_1$: 中心は原点，半径 $2a$ の円を正の向きに一周， $C_2$: 中心は原点，半径 $a$ の円を負の向きに一周とする． $C$ の内部の領域は

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{a^2\le x^2+y^2\le 4a^2}\,\right\}$$

である． 領域 $D$ 内で関数 $f(x,y)=-y$, $g(x,y)=x$ は連続であるから， グリーンの定理が適用可能である． 線積分は

$$I = \frac{1}{2}\iint_{D}(g_x-f_y)dxdy= \iint_{D}dxdy$$

と多重積分に変わる． 極座標に置換積分すると， $(r,\theta)$ 座標では

$$E=\left\{\left.\,{(r,\theta)}\,\,\right\vert\,\,{a\le r\le 2a,\,0\le\theta\le2\pi}\,\right\}$$

であるから，

$$I =\iint_{E}r\,drd\theta= \int_{a}^{2a}r\,dt\int_{0}^{2\pi}d\theta=... ...[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\theta}\,\right]_{0}^{2\pi}= 3\pi a^2$$

となる．

例 3.102 (グリーンの定理が使用不可な例)   線積分

$$I=\oint_{C}\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy, \quad C=\lef... ....\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=\cos t,\,\, y=\sin t,\,\, t:0\to2\pi}\,\right\}$$

を考える． $C$ は単位円上を 1 周する有向曲線であり， $C$ の内部の領域は

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq 1}\,\right\}$$

である． 関数

$$f(x,y)=\frac{-y}{x^2+y^2}, \quad g(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}$$

は原点で連続ではないので， 領域 $D$ のすべての点において 関数 $f$, $g$ は連続ではないからグリーンの定理は適用できない．

誤りではあるが， グリーンの定理を適用して計算すると，

$$f_y=\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}, \qquad g_x=\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}, \qquad g_x-f_y=0$$

より，

$$I =\oint_{C}\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy= \iint_{D}(g_x-f_y)dxdy= \iint_{D}0\,dxdy=0$$

となる． 正しくは，

$$I =\oint_{C}\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy= \int_0^{2\pi}... ...sin t}{\cos^2t+\sin^2t}(-\sin t)+ \frac{\cos t}{\cos^2t+\sin^2t}\cos t\right)dt$$

$$= \int_0^{2\pi}dt=2\pi$$

と得られる．

平成21年1月14日