1.5 $\mathbb{R}^3$ の直交する直線

例 1.18 (直交する直線)   $\mathbb{R}^3$ の直線 $${\ell:\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{3}}$$ と直交し点 $A(1,2,3)$ を通る直線の方程式を求める． 求めたい直線を $m$ とする． $m$ の方向ベクトルを $${\vec{q}= \begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \end{bmatrix}^{T} }$$ とする． これは直線 $\ell$ の方向ベクトル $${\vec{p}= \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}^{T} }$$ と直交するので， $\vec{p}\cdot \vec{q}=0$ より，

$$( )\qquad 2\alpha-\beta+3\gamma=0$$

が成り立つ． $m$ は点 $A(1,2,3)$ を通り方向ベクトル $\vec{q}$ であるから， $m$ をパラメータ表示すると

$$( )\qquad x=\alpha s+1, \quad y=\beta s+2, \quad z=\gamma s+3$$

となる． $\ell$ をパラメータ表示すると

$$( )\qquad x=2t+1, \quad y=-t+3, \quad z=3t+2$$

となる． $m$ と $\ell$ の交点 $C$ を求める． (○)，(●)より， 連立方程式

$$\begin{bmatrix}2 & -\alpha \\ -1 & -\beta \\ 3 & -\gamma \end{bma... ...\begin{bmatrix}t \\ s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

を得る． 拡大係数行列を簡約化すると，

$$\begin{bmatrix}2 & \alpha & 0\\ 1 & \beta & 1\\ 3 & \gamma & 1 \e... ...(\alpha+2\beta) \\ 0 & 0 & 2(\alpha-\beta-\gamma)/(\alpha+2\beta) \end{bmatrix}$$

となる． 連立方程式が一意な解をもつためには， 第 2 式の第 $(3,3)$ 成分が 0 であれば良いので，

$$( )\qquad \alpha-\beta-\gamma=0$$

を得る． (☆)，(★) より， $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ の連立方程式をつくり それを簡約化すると，

$$\alpha=-4\gamma, \qquad \beta=-5\gamma$$

を得る．$\gamma$ は任意であるから適当に $\gamma=1$ とすると， $\alpha=-4$, $\beta=-5$ である． よって， $${t=\frac{2}{7}}$$, $${s=\frac{1}{7}}$$ である． 交点 $C$ の座標は $${\left(\frac{11}{7},\frac{19}{7},\frac{20}{7}\right)}$$ と求まる． また， $m$ の方向ベクトルは $${\vec{q}= \begin{bmatrix} -4 & -5 & 1 \end{bmatrix}^{T} }$$ と求まる． よって， $${m:\frac{x-1}{-4}=\frac{y-2}{-5}=\frac{z-3}{1}}$$ と得られる．

例 1.19 (直交する直線)   $\mathbb{R}^3$ の直線 $${\ell:\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{3}}$$ と直交し点 $A(1,2,3)$ を通る直線の方程式を求める． 求めたい直線を $m$ とする． 点 $A$ から直線 $\ell$ への正射影を $C$ とする． $\ell$ 上の適当な点 $B(1,3,2)$ をとると， $C$ は

$$\overrightarrow{OC}= \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{BC}= \o... ...ec{p}\Vert^2} \vec{p} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix}11 \\ 19 \\ 20 \end{pmatrix}$$

により求まる． $m$ は直線 $AC$ より求まる．

例 1.20 (直交する直線)   $\mathbb{R}^3$ の直線 $${\ell:\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{3}}$$ と直交し点 $A(1,2,3)$ を通る直線の方程式を求める． 求めたい直線を $m$ とする． 点 $A$ から直線 $\ell$ への正射影を $C$ とする． 直線 $\ell$ 上の動点 $P$ の座標は

$$x=2t+1, \quad y=-t+3, \quad z=3t+2$$

である．線分 $AP$ の長さが最短になるとき， $P=C$ である．

$$\Vert\overrightarrow{AP}\Vert^2= (2t+1-1)^2 + (-t+3-2)^2 + (3t+2-3)^2 = 4t^2+(t-1)^2+(3t-1)^2$$

$$= 14t^2-8t+2= 14\left( t-\frac{2}{7} \right)^2+\frac{6}{7}$$

より， $${t=\frac{2}{7}}$$ のとき最小になる． $m$ は直線 $AC$ より求まる．

例 1.21 (直交する直線)   $\mathbb{R}^3$ の直線 $${\ell:\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{3}}$$ と直交し点 $A(1,2,3)$ を通る直線の方程式を求める． 求めたい直線を $m$ とする． 点 $A$ から直線 $\ell$ への正射影を $C$ とする． 直線 $\ell$ と直交し点 $A$ を通る平面 $\alpha$ を考える． $\alpha$ と $\ell$ の交点が $C$ となる． $\alpha$ の法線ベクトルは $\ell$ の方向ベクトルであり， $\alpha$ は点 $A$ を通るので， $\alpha$ の方程式は

$$( )\qquad 2(x-1)-(y-2)+3(z-3)=0$$

である． 直線 $\ell$ のパラメータ表示は

$$( )\qquad x=2t+1, \quad y=-t+3, \quad z=3t+2$$

である． $\alpha$ と $\ell$ の交点を求める． (●)を(○)へ代入すると $${t=\frac{2}{7}}$$ を得る． $m$ は直線 $AC$ より求まる．

平成21年1月14日