3.1 多重積分

注意 3.1 (定積分)   1 変数関数 $f(x)$ を考える． 区間 $[a,b]$ を

$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{N-1}<x_{N}=b$$

と $N$ 個に分割し， 各小区間の幅を $\Delta x_{n}=x_{n}-x_{n-1}$ とおく． このとき，各小区間の矩形の符合付き面積は $\Delta S_n=f(\xi_n)\Delta x_{n}$ ( $x_{n-1}<\xi_n<x_{n}$) であるから， 曲線 $y=f(x)$ と区間 $[a,b]$ における符合付きの面積は

$$S= \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\Delta S_n= \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}f(\xi_n)\Delta x_{n}= \int_{a}^{b}f(x)\,dx$$

で与えられ，これが $f(x)$ の定積分である． また，定積分においては区間についても向きがあることに注意する．

注意 3.2 (定積分と区間の長さ)   被積分関数が $f(x)=1$ のとき，定積分

$$\int_{a}^{b}dx= \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{x}\,\right]_{a}^{b}=b-a$$

は区間 $I=[a,b]$ の長さを表す．

定義 3.3 (2 重積分)   長方形領域

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{a\leq x\leq b,c\leq y\leq d}\,\right\}$$

を $x$ 軸方向に $N$ 分割し， $y$ 軸方向に $M$ 分割し，

$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{N-1}<x_{N}=b, c=y_0<y_1<y_2<\cdots<y_{M-1}<y_{M}=d$$

とする． 各小領域

$$D_{n,m}=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x_{n-1}<x<x_{n},y_{m-1}<y<y_{m}}\,\right\}$$

の $x$ 方向，$y$ 方向の幅を $\Delta x_n=x_{n}-x_{n-1}$, $\Delta y_m=y_{m}-y_{m-1}$ とおくと， 小領域 $D_{n,m}$ の面積は $\Delta S_{n,m}=\Delta x_n\Delta y_n$ であり， 曲面 $z=f(x,y)$ と $D_{n,m}$ ではさまれた領域の体積は $\Delta V_{n,m}=f(\xi_n,\eta_m)\Delta S_{n,m}= f(\xi_n,\eta_m)\Delta x_n\Delta y_m$ である． ただし， $x_{n-1}<\xi_n<x_{n}$, $y_{m-1}<\eta_m<y_{m}$ とする． よって， 曲面 $z=f(x,y)$ と領域 $D$ とではさまれた領域の 符合付き体積は

$$V = \lim_{N,M\to\infty} \sum_{n=1}^{N}\sum_{m=1}^{M}\Delta V_{n,m}$$

$$= \lim_{N,M\to\infty} \sum_{n=1}^{N}\sum_{m=1}^{M} f(\xi_n,\eta_m)\Delta x_n\Delta y_m= \iint_{D}f(x,y)\,dxdy$$

$$= \lim_{N,M\to\infty} \sum_{n=1}^{N}\sum_{m=1}^{M} f(\xi_n,\eta_m)\Delta S_{n,m}= \iint_{D}f(x,y)\,dS$$

で与えられる． これを 2 変数関数 $f(x,y)$ に対する 2 重積分または面積分という．

注意 3.4 (領域の面積の向き)   定積分では積分区間に向きを導入し， $\int_a^bdx=-\int_b^adx$ となるが， 多重積分では， 微小領域の面積 $\Delta S_{n,m}$ は正のみである． 例えば $a$ と $b$ とを入れ替えて $\Delta S_{n,m}<0$ となることは 許されない．

定義 3.5 (2 重積分)   任意の領域 $D$ に対する 2 重積分は， 領域 $D$ を含む長方形領域 $\tilde{D}$ を考え， 関数

$$\tilde{f}(x,y)= \left\{ \begin{array}{ll} f(x,y) & (x,y)\in D \\ [1ex] 0 & (x,y)\not\in D \end{array}\right.$$

を導入し，

$$\iint_{D}f(x,y)\,dxdy= \iint_{\tilde{D}}\tilde{f}(x,y)\,dxdy$$

と定義する．

注意 3.6 (多重積分と領域の面積)   被積分関数が $f(x,y)=1$ のとき，

$$S=\iint_{D}dxdy$$

は領域 $D$ の面積となる．

定義 3.7 (3 重積分)   3 変数関数 $f(x,y,z)$ に対する3 重積分は

$$\tilde{V} = \iiint_{D}f(x,y,z)\,dxdydz= \lim_{N,M,L\to\infty}\sum_{n=1}^{N}... ...{m=1}^{M}\sum_{l=1}^{L} f(\xi_n,\eta_m,\lambda_l)\Delta x_n\Delta y_m\Delta z_l$$

$$= \iiint_{D}f(x,y,z)\,dV= \lim_{N,M,L\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\sum_{m=1}^{M}\sum_{l=1}^{L} f(\xi_n,\eta_m,\lambda_l)V_{n,m,l}$$

と定義される．

注意 3.8 (多重積分と領域の面積)   $\tilde{V}$ は4 次元の符合付き体積を表す，

また， 被積分関数が $f(x,y,z)=1$ のとき，

$$V=\iint_{D}dxdydy$$

は領域 $D$ の体積を表す．

定義 3.9 ($n$ 重積分)   同様にして定義される $n$ 変数関数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ に対する$\vec{n}$ 重積分は

$$\tilde{V}_{n+1}= \iint\cdots\int_{D}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\,dx_1dx_2\cdots dx_n$$

と表記する．

注意 3.10 (多重積分と領域の面積)   $\tilde{V}_{n+1}$ は $\vec{n+1}$ 次元の符合付き体積を表す，

また， $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=1$ のとき，

$$V_n= \iint\cdots\int_{D}dx_1dx_2\cdots dx_n$$

は領域 $D$ の$\vec{n}$ 次元の体積を表す．

定義 3.11 (多重積分)   $2$ 重積分，$3$ 重積分，$\cdots$ のことを総称して， 多重積分または重積分という．

平成21年1月14日