2.46 2 変数関数の極大値と極小値の判定

定理 2.217 (極値) 関数において点が , をみたすとき，が極値となるための判定条件は次の通りである．ただし，

$\displaystyle D(a,b)=f_{xy}(a,b)^2-f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)$

とおく．

（証明）点から点への増分を $\Delta f(a,b)$ とする．をテイラー展開し， $f_{x}(a,b)=0$ , であることを用いると，

$\displaystyle \Delta f(a,b)$	$\displaystyle =f(a+h,b+k)-f(a,b)= f_{xx}(a,b)h^2+2f_{xy}(a,b)hk+f_{yy}(a,b)k^2+o(\rho^2)$
	$\displaystyle = \frac{1}{2}\left( \alpha h^2+2\beta hk+\gamma k^2 \right)+o(\rho^2)$

と表される．ただし，簡単のために

$\displaystyle \alpha=f_{xx}(a,b),\quad \beta=f_{xy}(a,b),\quad \gamma=f_{y}(a,b)$

とおいた． $\Delta f(a,b)$ をの 2 次多項式

$\displaystyle 2\Delta f(a,b)=\alpha\,h^2+2(\beta k)h+(\gamma k^2)+o(\rho^2)$

であるとみると，この判別式は

$\displaystyle \tilde{D}=(\beta k)^2-\alpha(\gamma k^2)=k^2(\beta^2-\alpha\gamma)=k^2D$

である．よって，

	$\displaystyle D<0,\quad \alpha>0 \quad\Rightarrow\quad \Delta f(a,b)>0 \quad\Rightarrow\quad f(a+h,b+k)>f(a,b) \quad\Rightarrow$ は極小値
	$\displaystyle D<0,\quad \alpha<0 \quad\Rightarrow\quad \Delta f(a,b)<0 \quad\Rightarrow\quad f(a+h,b+k)<f(a,b) \quad\Rightarrow$ は極大値

が成り立つ．が正のときに応じて $\Delta f(a,b)$ は正と負と両方の値をとりうる．よって，は極値とはならない．また，の 2 次多項式と考えたときも同様の結果を得る．

例 2.218 (極値の計算例) 関数の極値を求める．連立方程式

$\displaystyle f_x=2x=0, \qquad f_y=2y=0$

を解くと極値の候補としてを得る．このとき，

$\displaystyle f_{xx}=2>0, \quad f_{xy}=0, \quad f_{yy}=2, \quad D=f_{xy}{}^2-f_{xx}f_{yy}=-4<0$

となる．よって，は極小値である．

例 2.219 (極値の計算例) 関数の極値を求める．連立方程式

$\displaystyle f_x=2x=0, \qquad f_y=3y^2=0$

を解くと極値の候補としてを得る．このとき，

$\displaystyle f_{xx}(x,y)=2, \quad f_{xy}(x,y)=0, \quad f_{yy}(x,y)=6y, \quad D(x,y)=f_{xy}{}^2-f_{xx}f_{yy}=-12y$

となる．であるから判別式を用いて極値となるかは判定できない．そこで，点とその近傍の点 , を考える．ただし，とする．このとき，

$\displaystyle f(0,k)-f(0,0)=k^3>0 \quad$	$\displaystyle \Rightarrow\quad f(0,k)>f(0,0)$
$\displaystyle f(0,-k)-f(0,0)=-k^3<0 \quad$	$\displaystyle \Rightarrow\quad f(0,-k)<f(0,0)$