2.43 演習問題 〜 陰関数，接線，接平面

問 2.190 (陰関数)   次の条件から定まる陰関数 $y=f(x)$ について $${\frac{dy}{dx}}$$ を求めよ．
    (1)  $x^2+y^2=1$     (2)   $${xe^{-y}=y\sin x}$$     (3)   $x^3+3xy+4xy^2+y^2+y=2$
    (4)   $x^3+3xy+y^3=0$     (5)   $x^3+4xy^2-3y^4=0$     (6)   $x^3+3x^2y+2xy^2+3y^3=4$
    (7)   $x+y=e^{xy}$     (8)   $${\log(x^2+y^2)=2\mathrm{Tan}^{-1}\frac{y}{x}}$$     (9)   $${\log\sqrt{x^2+y^2}=\mathrm{Tan}^{-1}\frac{y}{x}}$$
    (10)   $${\left(\frac{x}{a}\right)^\frac{2}{3} +\left(\frac{y}{b}\right)^\frac{2}{3}=1}$$ ($a,b>0$)     (11)   $${y=x^y}$$

問 2.191 (陰関数)   次の条件から定まる陰関数 $y=f(x)$ について $${\frac{dy}{dx}}$$, $${\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}$$ を求めよ．
    (1)  $x^2+y^2=1$     (2)   $x^3+xy^2=2$     (3)   $x^2+2xy+2y^2=1$     (4)   $y^3-xy^2-x+1=0$
    (5)   $x^2+2xy-y^2=1$

問 2.192 (陰関数の高階導関数)   条件 $F(x,y)=0$ で定まる陰関数 $y=f(x)$ の導関数を求めよ．
    (1)   $${\frac{dy}{dx}}$$     (2)   $${\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}$$

問 2.193 (陰関数の接線とテイラー展開)   次の曲線 $F(x,y)=0$ とその曲線上の点 $P(a,b)$ を考える． 条件 $F(x,y)=0$ から定まる陰関数 $y=f(x)$ を $x=a$ のまわりで $x$ についてテイラー展開せよ．
    (1)   $F=x^2+y^2-1=0$,     $P(1/2,\sqrt{3}/2)$     (2)   $F=x^3+xy^2-2=0$,    $P(1,1)$
    (3)   $F=x^3-xy-y^3+y=0$,    $P(1,1)$     (4)   $F=x^2-4xy+2y^5+y=0$,    $P(1,1)$
    (5)   $F=3x^2-xy^3+2xy+y-x=0$,    $P(1,2)$     (6)   $F=x^2-2xy^3+2y^2=0$,    $P(1,1)$
    (7)   $F=x^3-3y^3+2x^2y=0$,    $P(1,1)$

問 2.194 (接線)   次の曲線の点 $P$ における接線の方程式を求めよ．
    (1)  $x^2+y^2=1$,     $P(x_0,y_0)$     (2)   $x^3+xy^2=2$,    $P(1,1)$
    (3)   $x^3+3xy+4xy^2+y^2+y=2$,    $P(1,-1)$     (4)   $x^2-3xy^2+5x+y=0$,    $P(-1,1)$
    (5)   $x^3+3xy+y^5-x+1=0$,     $P(2,-1)$     (6)   $2x^2-xy-3+2xy+y-x=0$,     $P(1,2)$
    (7)   $e^{x-2y}-x+y=0$,    $P(2,1)$     (8)   $xe^{2y}-e^{xy}+\sin \pi xy+y=0$,    $P(0,1)$
    (9)   $xy\cos(xy)=0$,     $P\left(\pi/2,1\right)$     (10)   $\cos x+2y\cos xy+2x\cos y=\pi$,      $P(\pi/2,0)$

問 2.195 (陰関数)   次の条件から定まる陰関数 $z=f(x,y)$ について $${\frac{\partial z}{\partial x}}$$, $${\frac{\partial z}{\partial y}}$$ を求めよ．
    (1)   $x^2+3xy-2yz+xz+z^2=15$     (2)   $x^2+y^2+z^2+2x+2y+2z=0$
    (3)   $3xy-2x^2yz^2-5yz^3-z=0$     (4)   $3x^2+4y^2-5z^2=20$
    (5)   $3x^3+4y^2z=z^4+10$     (6)   $z=x^2+4xy+y^3$     (7)   $${y=\frac{x}{z^2}-\frac{z}{x^2}}$$     (8)   $(x+y+z)\,e^{xyz}=1$
    (9)   $x^2+2y+3z+5=\log z$     (10)   $z=e^x\sin(y+z)+1$     (11)   $${z=\sin(2x+1)\cos(y^2+4)}$$
    (12)   $${\sin xy+\sin yz+\sin xz=1}$$     (13)   $${z^x=y^z}$$

問 2.196 (陰関数)   次の条件から定まる陰関数 $z=f(x,y)$ について $${\frac{\partial z}{\partial x}}$$, $${\frac{\partial z}{\partial y}}$$, $${\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}}$$, $${\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}}$$, $${\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}}}$$ を求めよ．
    (1)   $x^2+3xy-2yz+xz+z^2=15$     (2)   $${x^2+z^2+4xy-2yz=0}$$     (3)  $z^x=xy$

問 2.197 (陰関数の高階導関数)   条件 $F(x,y,z)=0$ で定まる陰関数 $z=f(x,y)$ の偏導関数を求めよ．
    (1)   $${\frac{\partial z}{\partial x}}$$     (2)   $${\frac{\partial z}{\partial y}}$$     (3)   $${\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}}$$     (4)   $${\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}}$$     (5)   $${\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}}}$$

問 2.198 (陰関数の接平面とテイラー展開)   次の曲面 $F(x,y,z)=0$ とその曲面上の点 $P(a,b,c)$ を考える． 条件 $F(x,y,z)=0$ で定まる陰関数 $z=f(x,y)$ を 点 $(a,b)$ のまわりで点 $(x,y)$ について テイラー展開せよ．
    (1)   $F=xz+yz-z^2-4=0$,    $P(9,-4,1)$     (2)   $F=xy^2+yz^2+x^2-z-8=0$,    $P(-3,1,2)$

問 2.199 (接平面)   次の曲面の点 $P$ における接平面の方程式を求めよ．
    (1)   $x^2+y^2+z^2=1$,     $P(x_0,y_0,z_0)$     (2)   $x^2+3xy-2yz+xz+z^2=3$,     $P(2,0,-1)$
    (3)   $z=4x^2y+xy^3$,     $P(-1,1,3)$     (4)   $x^2+y^2+z^2=2$,     $P(2/3,-2\sqrt{2}/3,-\sqrt{2/3})$
    (5)   $${\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1}$$,     $P(x_0,y_0,z_0)$     (6)   $${\sin (x+\pi y)+\cos (\pi y-2z)=0}$$,     $P(0,1,\pi/4)$
    (7)   $${x^2-2xy+y^2-yz+z^2-3zx=x+y+z}$$,     $${P\left(2,-1,2\right)}$$

平成21年1月14日