2.34 テイラー展開

1 変数関数 $f(x)$ のテイラー展開は，点 $a$ のまわりで $x$ について 展開すると

$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2+\cdots+ \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n+ R_{n+1}(x),$$

$$\qquad R_{n+1}(x)= \frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-a)^{n+1}, \quad \xi=a+(x-a)\theta \quad (0<\theta<1)$$

である．$x=a+h$ とおいて，点 $a$ のまわりで $a+h$ についての 展開に書き直すと

$$f(a+h)=f(a)+h f'(a)+\frac{h^2}{2}f''(a)+\cdots+ \frac{h^n}{n!}f^{(n)}(a)+R_{n+1}, \quad R_{n+1}=\frac{h^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a+\theta h)$$

となる．

2 変数関数 $f(x,y)$ のテイラー展開では， 点 $(a,b)$ のまわりで点 $(x,y)=(a+h,b+k)$ についての 展開を考える． まず，関数

$$F(t)=f(a+ht,b+kt)$$

を導入する．これを $t=0$ のまわりでテイラー展開すると

$$F(t)=\sum_{n=0}^{N}\frac{F^{(n)}(0)}{n!}t^n+R_{N+1}, \qquad R_{N+1}=\frac{F^{(N+1)}(\theta t)}{(N+1)!}t^{N+1}$$

となる．微係数を求める．$F(t)$ の導関数は

$$F'(t) = af_{x}(a+ht,b+kt)+ af_{y}(a+ht,b+kt)$$

$$= \left(a\frac{\partial}{\partial x}+ b\frac{\partial}{\partial y}\right) f(a+ht,b+kt),$$

$$F''(t) = a^2f_{xx}(a+ht,b+kt)+ 2abf_{xy}(a+ht,b+kt)+ b^2f_{yy}(a+ht,b+kt)$$

$$= \left( a^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}+ 2ab\frac{\partial^2}... ...frac{\partial}{\partial x}+ b\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(a+ht,b+kt),$$

$$\qquad\cdots$$

$$F^{(n)}(t) = \left(a\frac{\partial}{\partial x}+ b\frac{\partial}{\partial y}\right)^n f(a+ht,b+kt)$$

であるから，

$$F^{(n)}(0) = \left(a\frac{\partial}{\partial x}+ b\frac{\partial}{\partial y... ...^{n-j}b^{j}}{(n-j)!j!} \frac{\partial^n f(a,b)}{\partial x^{n-j}\partial y^{j}}$$

$$= n! \sum_{i+j=n} \frac{a^{i}b^{j}}{i!j!} \frac{\partial^n f(a,b)}{\partial x^{i}\partial y^{j}}$$

を得る．これを用いると，

$$F(1) =f(a+t,b+t)= \sum_{n=0}^{N}\frac{F^{(n)}(0)}{n!}+R_{N+1}= \sum_{n... ...{i}b^{j}}{i!j!} \frac{\partial^n f(a,b)}{\partial x^{i}\partial y^{j}}+R_{N+1},$$

$$\qquad R_{N+1} = \sum_{i+j=N+1} \frac{a^{i}b^{j}}{i!j!} \frac{\partial^{N+1} f(a+\theta h,b+\theta k)} {\partial x^{i}\partial y^{j}}$$

を得る．

定理 2.148 (テイラー展開)   関数 $f(x,y)$ が $n+1$ 回微分可能なとき， 点 $(a,b)$ のまわりで点 $(x,y)=(a+h,b+k)$ についての テイラー展開（Taylor expansion）は，

$$f(a+h,b+k) = \sum_{i=0}^{n} \frac{1}{i!} \left(h\frac{\partial}{\partial x}+... ...\frac{h^lk^m}{l!m!} \frac{\partial^i f(a,b)}{\partial x^l\partial y^m}+R_{n+1},$$

$$f(x,x) = \sum_{i=0}^{n}\sum_{l+m=i \atop 0\leq l,m\leq i}\!\! \frac{1}{l!m!} \frac{\partial^i f(a,b)}{\partial x^l\partial y^m} (x-a)^l(y-b)^m+R_{n+1}$$

である与えられる．ただし，$R_{n+1}$ は 剰余項（remainder）であり，

$$R_{n+1} = \frac{1}{(n+1)!} \left(h\frac{\partial}{\partial x}+ k\frac{\pa... ...k^m}{l!m!} \frac{\partial^i f(a+\theta h,b+\theta k)}{\partial x^l\partial y^m}$$

と与えられる．ただし， $0<\theta<1$ である．

注意 2.149 (テイラー展開)   テイラー展開をベクトル表記すると

$$f(\vec{a}+\vec{h})=f(\vec{a})+\nabla f(\vec{a})\vec{h}+ \frac{1}{2}\vec{h}^{T}\nabla^2 f(\vec{a})\vec{h}+R_{3}$$

と書ける．ただし，

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}, \quad \vec{h}= \beg... ...al^2 f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{bmatrix}$$

であり，$H$ は $f$ のヘッセ行列（Hesse matrix）という．

例 2.150 (テイラー展開)   関数 $f(x,y)$ を点 $(a,b)$ のまわりで点 $(a+h,b+k)$ について $3$ 次まで展開し，$4$ 次以降を剰余項で表すと

$$f(a+h,b+k)=f(a,b)+hf_x(a,b)+kf_y(a,b)+ \frac{h^2}{2}f_{xx}(a,b)+ hkf_{xy}(a,b)+ \frac{k^2}{2}f_{yy}(a,b)$$

$$\qquad\qquad\qquad+ \frac{h^3}{3!}f_{xxx}(a,b)+ \frac{h^2k}{2}f_{xxy}(a,b)+ \frac{hk^2}{2}f_{xyy}(a,b)+ \frac{k^3}{3!}f_{yyy}(a,b)+R_{4},$$

$$\quad R_4= \frac{h^4}{4!}f_{xxxx}(a+\theta h,b+\theta k)+ \frac{h... ...xxy}(a+\theta h,b+\theta k)+ \frac{h^2k^2}{2!2!}f_{xxyy}(a+\theta h,b+\theta k)$$

$$\qquad\qquad\qquad\qquad+ \frac{hk^2}{3!}f_{xyyy}(a+\theta h,b+\theta k)+ \frac{k^4}{4!}f_{yyyy}(a+\theta h,b+\theta k)$$

となる．

例 2.151 (テイラー展開)   関数 $f(x,y)=x^2y+4y-5$ を点 $(1,-1)$ のまわりで 点 $(x,y)$ についてテイラー展開する． まず，偏導関数は

$$f_x=2xy,\quad f_y=x^2+4,\quad f_{xx}=2y,\quad f_{xy}=2x,\quad f_{yy}=0,$$

$$f_{xxx}=0,\quad f_{xxy}=2,\quad f_{xyy}=0,\quad f_{yyy}=0,\quad f_{xxxx}=0,\quad\cdots$$

である．$4$ 階以降の偏導関数はすべて 0 となる． また，点 $(1,-1)$ における偏微係数は

$$f(1,-1)=-10,\quad f_x(1,-1)=-2,\quad f_y(1,-1)=5,$$

$$f_{xx}(1,-1)=-2,\quad f_{xy}(1,-1)=2,\quad f_{yy}(1,-1)=0,$$

$$f_{xxx}(1,-1)=0,\quad f_{xxy}(1,-1)=2,\quad f_{xyy}(1,-1)=0,\quad f_{yyy}(1,-1)=0,$$

$$f_{xxxx}(1,-1)=0,\quad,\cdots$$

である．これを用いるとテイラー展開は

$$f(x,y)= f(1,-1)+ f_{x}(1,-1)(x-1)+ f_{y}(1,-1)(y+1)$$

$$\qquad+ \frac{1}{2}f_{xx}(1,-1)(x-1)^2+ f_{xy}(1,-1)(x-1)(y+1)+ \frac{1}{2}f_{xx}(1,-1)(y+1)^2$$

$$\qquad+ \frac{1}{3!}f_{xxx}(1,-1)(x-1)^3+ \frac{1}{2}f_{xxy}(1,-1)(x-1)^2(y+1)+ \frac{1}{2}f_{xyy}(1,-1)(x-1)(y+1)^2$$

$$\qquad+ \frac{1}{3!}f_{yyy}(1,-1)(y+1)^3+ \frac{1}{4!}f_{xxxx}(1,-1)(x-1)^4+0+0+\cdots$$

より，

$$f(x,y)=-10-2(x-1)+5(y+1)-(x-1)^2+2(x-1)(y+1)+(x-1)^2(y+1)$$

となる． 多項式のテイラー展開は，多項式を単に変形した形となる．

例 2.152 (テイラー展開)   関数 $f(x,y)=e^{x+2y}$ を点 $(0,0)$ まわりで 点 $(h,k)$ についてテイラー展開する． まず，偏導関数は

$$f_{x}=e^{x+2y},\quad f_{y}=2e^{x+2y},\quad f_{xx}=e^{x+2y},\quad f_{xy}=2e^{x+2y},\quad f_{yy}=4e^{x+2y},$$

$$f_{xxx}=e^{x+2y},\quad f_{xxy}=2e^{x+2y},\quad f_{xyy}=4e^{x+2y},\quad f_{yyy}=8e^{x+2y}$$

である．

$$f(0,0)=1,\quad f_{x}(0,0)=1,\quad f_{y}(0,0)=2,$$

$$f_{xx}(\theta h,\theta k)=e^{\theta h+2\theta k},\quad f_{xy}(\th... ...2e^{\theta h+2\theta k},\quad f_{yy}(\theta h,\theta k)=4e^{\theta h+2\theta k}$$

となるから，$1$ 次項までのテイラー展開は

$$f(h,k) =f(0,0)+hf_x(0,0)+kf_y(0,0)+ \frac{h^2}{2}f_{xx}(\theta h,\theta k)+ hkf_{xy}(\theta h,\theta k)+ \frac{k^2}{2}f_{yy}(\theta h,\theta k)$$

$$=1+h+2k+\left(\frac{h^2}{2}+2hk+2k^2\right)e^{\theta h+2\theta k} \quad(0<\theta<1)$$

となる． 同様にして，

$$f(0,0)=1,\quad f_{x}(0,0)=1,\quad f_{y}(0,0)=2,\quad f_{xx}(0,0)=1,\quad f_{xy}(0,0)=2,\quad f_{yy}(0,0)=4,$$

$$f_{xxx}(\theta h,\theta k)=e^{\theta h+2\theta k},\quad f_{xxy}(\... ...e^{\theta h+2\theta k},\quad f_{xyy}(\theta h,\theta k)=8e^{\theta h+2\theta k}$$

となるから，$2$ 次項までのテイラー展開は

$$f(h,k) =f(0,0)+hf_x(0,0)+kf_y(0,0)+ \frac{h^2}{2}f_{xx}(0,0)+ hkf_{xy}(0,0)+ \frac{k^2}{2}f_{yy}(0,0)$$

$$\qquad+ \frac{h^3}{6}f_{xxx}(\theta h,\theta k)+ \frac{h^2k}{2}f_... ...c{hk^{2}}{2}f_{xyy}(\theta h,\theta k)+ \frac{k^3}{6}f_{yyy}(\theta h,\theta k)$$

$$=1+h+2k+\frac{h^{2}}{2}+2hk+2k^{2}+ \left(\frac{h^3}{6}+h^{2}k+2hk^{2}+\frac{4k^{3}}{3}\right)e^{\theta h+2\theta k} \quad(0<\theta<1)$$

となる．

例 2.153 (テイラー展開)   関数 $f(x,y)=\sin(xy)$ を点 $(\frac{\pi}{2},1)$ のまわりで 点 $(x,y)$ についてテイラー展開する． まず，

$$f_x=y\cos(xy),\quad f_y=x\cos(xy),$$

$$f_{xx}=-y^2\sin(xy),\quad f_{xy}=\cos(xy)-xy\sin(xy),\quad f_{yy}=-x^2\sin(xy)$$

より，

$$f\left(\frac{\pi}{2},1\right)=1,\quad f_x\left(\frac{\pi}{2},1\right)=0,\quad f_y\left(\frac{\pi}{2},1\right)=0,$$

$$f_{xx}\left(\frac{\pi}{2},1\right)=-1,\quad f_{xy}\left(\frac{\pi... ...right)=-\frac{\pi}{2},\quad f_{yy}\left(\frac{\pi}{2},1\right)=-\frac{\pi^2}{4}$$

となるので，テイラー展開は

$$f(x,y) =f\left(\frac{\pi}{2},1\right)+ f_x\left(\frac{\pi}{2},1\right)\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+ f_y\left(\frac{\pi}{2},1\right)(y-1)$$

$$\quad+ \frac{1}{2} f_{xx}\left(\frac{\pi}{2},1\right)\left(x-\fra... ...i}{2}\right)(y-1)+ \frac{1}{2} f_{yy}\left(\frac{\pi}{2},1\right)(y-1)^2+\cdots$$

$$=1-\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2- \frac{\pi}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)(y-1)- \frac{\pi^2}{8}(y-1)^2+\cdots$$

である．展開を途中で打ち切ると $f(x,y)$ の $2$ 次の近似式 $f_2(x,y)$ が

$$f(x,y)\simeq f_2(x,y)= 1-\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2- \frac{\pi}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)(y-1)- \frac{\pi^2}{8}(y-1)^2$$

と得られる．

例 2.154 (テイラー展開)   関数 $${f(x,y)=\log(1+x+y)}$$ の マクローリン展開を求める． まず，

$$f_x=\frac{1}{1+x+y},\quad f_y=\frac{1}{1+x+y},$$

$$f_{xx}=\frac{-1}{(1+x+y)^2},\quad f_{xy}=\frac{-1}{(1+x+y)^2},\quad f_{yy}=\frac{-1}{(1+x+y)^2},$$

$$f_{xxx}=\frac{2}{(1+x+y)^3},\quad f_{xxy}=\frac{2}{(1+x+y)^3},\quad f_{xyy}=\frac{2}{(1+x+y)^3},\quad f_{yyy}=\frac{2}{(1+x+y)^3},$$

$$\cdots,\quad \frac{\partial^n f}{\partial x^n}= \frac{\partial^n ... ...y^{n-1}}= \frac{\partial^n f}{\partial y^n} =\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x+y)^n}$$

より，

$$f(0,0)=0,\quad f_x(0,0)=1,\quad f_y(0,0)=1,\quad f_{xx}(0,0)=-1,\quad f_{xy}(0,0)=-1,\quad f_{yy}(0,0)=-1,$$

$$\cdots,\quad \frac{\partial^n f(0,0)}{\partial x^n}= \frac{\parti... ...al x\partial y^{n-1}}= \frac{\partial^n f(0,0)}{\partial y^n} =(-1)^{n-1}(n-1)!$$

となるので，マクローリン展開は

$$f(x,y)=f(0,0)+ f_x(0,0)x+f_y(0,0)y+\cdots+ \sum_{l=0}^{n}\frac{1}... ...} \frac{\partial^{n}f(0,0)}{\partial x^{n-l}\partial y^{l}} x^{n-l}y^{l}+\cdots$$

$$=x+y-\frac{x^2}{2}-xy-\frac{y^2}{2}+ \frac{1}{3}x^3+x^2y+xy^2+\fr... ...^3+\cdots+ \sum_{l=0}^{n}\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(n-l)!\,l!}x^{n-l}y^{l}+\cdots$$

と得られる．

平成21年1月14日