2.9 演習問題 〜 偏微分

問 2.41 (偏導関数)   関数 $f(x,y)$ の偏導関数 $f_x(x,y)$, $f_y(x,y)$ の定義を述べよ．

問 2.42 (偏微係数)   関数 $f(x,y)$ の偏導関数と点 $(1,-2)$ における偏微係数を求めよ．
    (1)   $${f(x,y)=2x^3+5xy+2y^2}$$     (2)   $${f(x,y)=x^4-3x^2y^2+3y^4}$$
    (3)   $${f(x,y)=x^5+3x^4y^2+4xy^3+y^4}$$     (4)   $${f(x,y)=e^{xy^2}}$$     (5)   $${f(x,y)=\sin(2x+3y)}$$

問 2.43 (1 階偏導関数)   次の関数の $1$ 階偏導関数を全て求めよ．
    (1)   $z=e^{x-y}\sin(2x^2-3xy+4y)$     (2)   $w=\sin(2x-y)\cos(y+3z)$     (3)   $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
    (4)   $${z=x^3+y^2+2}$$     (5)   $${z=x^3-x^2y+xy^2-y-3}$$     (6)   $${z=2x^3+5xy+2y^2}$$
    (7)   $${z=x^4-3x^2y^2+3y^4}$$     (8)   $${z=x^5+3x^4y^2+4xy^3+y^4}$$     (9)   $${z=x^2y^5-2x^3y^2+y}$$
    (10)   $${w=x^2y^3z^2}$$     (11)   $${z=\frac{x+y}{x-y}}$$     (12)   $${z=\frac{x}{x^2+y^2}}$$     (13)   $${z=\sqrt{x^2+y^4}}$$
    (14)   $${z=\log(x^2+xy+y^2)}$$     (15)   $${z=\log\sqrt{x^2+y^2}}$$     (16)   $${z=\log\frac{1}{x^2+y^2}}$$     (17)   $${z=e^{xy^2}}$$
    (18)   $${z=e^{xy}(x\cos y-y\sin y)}$$     (19)   $${z=\sin(2x+3y)}$$     (20)   $${z=x^2\cos y-y^2\cos x}$$
    (21)   $${z=\cos(x^2+xy)}$$     (22)   $${z=\sin(x^2y)}$$     (23)   $${w=\mathrm{Sin}^{-1}(x+yz)}$$     (24)   $${z=\mathrm{Tan}^{-1}\frac{y}{x}}$$
    (25)   $${z=\mathrm{Tan}^{-1}\frac{x^2}{y}}$$     (26)   $${z=\mathrm{Tan}^{-1} x^2y}$$

問 2.44 (偏導関数)   次の関係式が成り立つことを示せ．
    (1)  $z=x^3y^3$,     $xz_{x}+yz_{y}=6z$     (2)   $w=(x-y)(y-z)(z-x)$,     $w_x+w_y+w_z=0$

問 2.45 (偏導関数)   関数 $f(x,y)$ の高階偏導関数を計算し， $f_{xy}=f_{yx}$, $f_{xxy}=f_{xyx}=f_{yxx}$, $f_{yyx}=f_{yxy}=f_{xyy}$ となることを確認せよ．
    (1)   $${f(x,y)=2x^3+5xy+2y^2}$$     (2)   $${f(x,y)=x^5y^2}$$     (3)   $${f(x,y)=x^3-x^2y+xy^2-y^3+1}$$
    (4)   $${f(x,y)=x^4-3x^2y^2+3y^4}$$     (5)   $${f(x,y)=x^5+3x^4y^2+4xy^3+y^4}$$     (6)   $${f(x,y)=e^{xy^2}}$$
    (7)   $${f(x,y)=\sin(2x+3y)}$$     (8)   $${f(x,y)=x^2\cos y-y^2\cos x}$$     (9)   $${f(x,y)=\mathrm{Tan}^{-1}x^2y}$$

問 2.46 (2 階偏導関数)   次の関数の 1 階, 2 階偏導関数を全て求めよ．
    (1)   $${4x^3-2x^2y+5xy^2-y^3}$$     (2)   $${\log\sqrt{x^2+y^2}}$$     (3)   $${x\sin xy^2}$$     (4)   $${\cos(a\,x+b\,y)}$$
    (5)   $${\sin(a\,x+b\,y)}$$     (6)   $${e^{xy^2}}$$
    (7)   $${\alpha\,p^4+\beta\,q^3+\gamma\,r^2-2pq-2qr-2rp+3pqr}$$ （$p$, $q$, $r$ について）

問 2.47 (3 階偏導関数)   次の関数の 1 階, 2 階, 3 階偏導関数を全て求めよ．
    (1)   $${2x^3+5xy+2y^2}$$     (2)   $${e^{x^2+xy}}$$

問 2.48 (偏微分)   $${w=\frac{a^2 \varphi}{\xi a^2+b^2 \varphi}}$$ であるとき $${\frac{\partial w}{\partial a}}$$, $${\frac{\partial w}{\partial \varphi}}$$, $${\frac{\partial w}{\partial \xi}}$$, $${\frac{\partial^2 w}{\partial a \partial \varphi}}$$, $${\frac{\partial^2 w}{\partial \varphi \partial \xi}}$$ を求めよ．

平成21年1月14日