3.1 微分係数

定義 3.1 (微分と微分係数)   関数 $f(x)$ が $x=a$ において連続で，極限

$$\lim_{h\to0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

が存在するとき， $f(x)$ は $x=a$ において微分可能（differentiable） であるという． このとき有限確定した極限を $f'(a)$ と表記し， $x=a$ における$f(x)$ の 微分係数（differential coefficient）と呼ぶ．

定義 3.2 (右微分係数，左微分係数)   右極限による関数 $f(x)$ の微分係数を

$$f'(a+0)=\lim_{h\to+0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

と書き，右微分係数（right differential coefficient）と呼ぶ． 左極限による関数 $f(x)$ の微分係数を

$$f'(a-0)=\lim_{h\to-0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

と書き，左微分係数（left differential coefficient）と呼ぶ．

注意 3.3 (微分係数の存在)   $f'(a)$ が存在するとは，すなわち $f'(a+0)$, $f'(a-0)$ が存在し， かつ $f'(a+0)=f'(a-0)$ が成り立つことを意味する．

例 3.4 (微分係数の具体例)   $f(x)=x^2$ の $x=a$ における微分係数を求める．まず

$$g(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

とおく．$g(h)$ を計算すると

$$g(h)=\frac{(a+h)^2-h^2}{h}=\frac{2ah+h^2}{h}=2a+h$$

を得る．よって

$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}= \lim_{h\to 0}g(h)= \lim_{h\to 0}(2a+h)=2a$$

により微分係数 $f'(a)=2a$ が求まる．

例 3.5 (微分不可能な点の具体例)   関数 $f(x)=\vert x\vert$ は $x=0$ において連続であるが，微分可能ではない． 以下これを示す．まず

$$g(x,h)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\vert x+h\vert-\vert x\vert}{h}$$

とおく． $x\geq0$, $h>0$ のとき

$$g(x,h)=\frac{\vert x+h\vert-\vert x\vert}{h}=\frac{x+h-x}{h}=\frac{h}{h}=1$$

である． $x\leq0$, $h<0$ のとき

$$g(x,h)=\frac{\vert x+h\vert-\vert x\vert}{h}=\frac{-(x+h)-(-x)}{h}=\frac{-h}{h}=-1$$

となる．これより

$$f'(+0) =\lim_{h\to+0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to+0}g(0,h)=1\,,$$

$$f'(-0) =\lim_{h\to-0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to-0}g(0,h)=-1\,$$

を得る．右微分係数と左微分係数は存在するがその値は異なる． よって $x=0$ における微分係数 $f'(0)$ は存在しない． $f(x)$ は $x=0$ において微分不可能である．

例 3.6 (微分不可能な点の具体例)   関数 $f(x)=\vert x(x-1)\vert$ は $x=0,1$ において連続であるが，微分可能ではない． なぜなら，

$$g(x,h)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\vert(x+h)(x+h-1)\vert-\vert x(x-1)\vert}{h}$$

より

$$g(0,h)=\frac{\vert h(h-1)\vert}{h}= \left\{ \begin{array}{llll} \... ...e{\frac{h(h-1)}{h}=h-1} & (h<0) & \quad\to\quad-1 & (h\to-0) \end{array}\right.$$

となり $f'(+0)=1$, $f'(-0)=-1$ を得る．$x=0$ で微分不可能である． また

$$g(1,h)=\frac{\vert(h+1)h\vert}{h}= \left\{ \begin{array}{llll} \d... ...\frac{-(h+1)h}{h}=-h-1} & (h<0) & \quad\to\quad-1 & (h\to-0) \end{array}\right.$$

となり $f'(1+0)=1$, $f'(1-0)=-1$ を得る．$x=1$ で微分不可能である．

平成21年6月1日