2.23 演習 〜 初等関数

問 2.73 (関数の種類)   次の写像(1)-(3)は，単射($1$ 対 $1$ 写像)，全射(上への写像)， 全単射(上への$1$ 対 $1$ 写像)，いずれでもない，のどれであるか答えよ．
    (1)   $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\,;\,y=f(x)=ax+b$     (2)   $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\,;\,y=f(x)=e^x$
    (3)   $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\,;\,y=f(x)=x^2$

問 2.74 (対数関数)   次の値を求めよ．
    (1)   $\log_{10} 800$ ( $\log_{10} 2\simeq 0.3010$ を用いよ)

問 2.75 (三角関数)   次の値を求めよ．
    (1)   $${\sin\frac{2\pi}{3}}$$     (2)   $${\sin\frac{\pi}{12}}$$     (3)   $${\sin\frac{\pi}{6}}$$     (4)   $${\sin\left(\frac{-2\pi}{3}\right)}$$     (5)   $${\sin\frac{5\pi}{12}}$$     (6)   $${\cos\left(\frac{-3\pi}{4}\right)}$$
    (7)   $${\cos\frac{\pi}{12}}$$     (8)   $${\cos\frac{\pi}{4}}$$     (9)   $${\cos \left(\frac{-\pi}{4}\right)}$$     (10)   $${\cos\frac{5\pi}{12}}$$     (11)   $${\tan \left(-\frac{\pi}{3}\right)}$$     (12)   $${\tan\frac{5\pi}{6}}$$
    (13)   $${\tan\frac{7\pi}{12}}$$     (14)   $${\mathrm{Sin}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)}$$     (15)   $${\mathrm{Sin}^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right)}$$     (16)   $${\mathrm{Sin}^{-1}(0)}$$     (17)   $${\mathrm{Sin}^{-1}\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
    (18)   $${\mathrm{Sin}^{-1}\left(\frac{-\sqrt{2}}{2}\right)}$$     (19)   $${\mathrm{Sin}^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2}}$$     (20)   $${\mathrm{Sin}^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)}$$     (21)   $${\mathrm{Sin}^{-1}(1)}$$     (22)   $${\mathrm{Cos}^{-1}(0)}$$
    (23)   $${\mathrm{Cos}^{-1}\frac{1}{2}}$$     (24)   $${\mathrm{Cos}^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right)}$$     (25)   $${\mathrm{Cos}^{-1}\frac{\sqrt{2}}{2}}$$     (26)   $${\mathrm{Cos}^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)}$$     (27)   $${\mathrm{Cos}^{-1}(1)}$$
    (28)   $${\mathrm{Tan}^{-1}(0)}$$     (29)   $${\mathrm{Tan}^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}}$$     (30)   $${\mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)}$$     (31)   $${\mathrm{Tan}^{-1}(1)}$$     (32)   $${\mathrm{Tan}^{-1}\sqrt{3}}$$
    (33)   $${\mathrm{Tan}^{-1}\left(-\sqrt{3}\right)}$$

問 2.76 (三角関数)   次の等式を証明せよ．
    (1)   $\sin (x+y+z)= \sin x \cos y \cos z + \cos x \sin y \cos z \ + \cos x \cos y \sin z - \sin x \sin y \sin z$
    (2)   $a\,\sin x+b\,\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\theta)$, $${\theta=\mathrm{Tan}^{-1}(b/a)}$$
    (3)   $a\,\cos x+b\,\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\,\cos(x-\theta)$, $${\theta=\mathrm{Tan}^{-1}(b/a)}$$
    (4)   $${\cos2x=2\cos^2x-1}$$     (5)   $${\cos3x=4\cos^3x-3\cos x}$$     (6)   $${\cos4x=8\cos^4x-8\cos^2x+1}$$
    (7)   $${\cos^2x=\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{2}}$$     (8)   $${\cos^3x=\frac{1}{4}\cos3x+\frac{3}{4}\cos x}$$     (9)   $${\cos^4x=\frac{1}{8}\cos4x+\frac{1}{2}\cos2x-\frac{1}{8}}$$
    (10)   $${\mathrm{Sin}^{-1}\frac{4}{5}+\mathrm{Sin}^{-1}\frac{5}{13}+\mathrm{Sin}^{-1}\frac{16}{65}= \frac{\pi}{2}}$$ （ヒント：$16^2=256$, $65^2=4225$, $63^2=3969$）
    (11)   $${\mathrm{Sin}^{-1}2x=\mathrm{Sin}^{-1}2x\sqrt{1-x^2}}$$     (12)   $${\mathrm{Cos}^{-1}2x=\mathrm{Cos}^{-1}(2x^2-1)}$$
    (13)   $${\mathrm{Tan}^{-1}x+\mathrm{Tan}^{-1}y=\mathrm{Tan}^{-1}\frac{x+y}{1-xy}}$$     (14)   $${\mathrm{Tan}^{-1}\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}-\mathrm{Tan}^{-1}x}$$

問 2.77 (逆三角関数)   次の条件をみたす $x$ を求めよ．
    (1)   $${\mathrm{Sin}^{-1}x=\mathrm{Cos}^{-1}\frac{3}{5}}$$     (2)   $${\mathrm{Cos}^{-1}x=\mathrm{Tan}^{-1}\sqrt{5}}$$     (3)   $${\mathrm{Cos}^{-1}x=\mathrm{Sin}^{-1}\frac{1}{3}+\mathrm{Sin}^{-1}\frac{7}{9}}$$

問 2.78 (双曲線関数)   次の定義を書け．
    (1)  $\sinh x$     (2)  $\cosh x$     (3)  $\tanh x$

問 2.79 (双曲線関数)   次を証明せよ．
    (1)   $${\sinh^{-1}x=\log(x+\sqrt{x^2+1})}$$     (2)   $${\mathrm{Cosh}^{-1}x=\log(x+\sqrt{x^2-1})}$$     (3)   $${\tanh^{-1}x=\frac{1}{2}\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}$$

問 2.80 (双曲線関数)   次の等式を証明せよ．
    (1)   $\sinh(-x)=-\sinh x$     (2)   $\cosh(-x)=\cosh x$     (3)   $\tanh(-x)=-\tanh x$
    (4)   $\cosh^2 x - \sinh^2 x= 1$     (5)   $\sinh (x \pm y)= \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y$
    (6)   $\cosh (x \pm y)= \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y$     (7)   $${\tanh (x\pm y)= \frac{\tanh x \pm \tanh y}{1 \pm \tanh x \tanh y}}$$
    (8)   $${\cosh2x=2\cosh^2x-1}$$     (9)   $${\cosh3x=4\cosh^3x-3\cosh x}$$
    (10)   $${\cosh4x=8\cosh^4x-8\cosh^2x+1}$$     (11)   $${\sinh x\cosh x=\frac{1}{2}\sinh 2x}$$
    (12)   $${\sinh^2 x= \frac{1}{2} \cosh 2x- \frac{1}{2}}$$     (13)   $${\cosh^2 x= \frac{1}{2} \cosh 2x+ \frac{1}{2}}$$     (14)   $${\cosh^3 x= \frac{1}{4} \cosh 3x+ \frac{3}{4} \cosh x}$$
    (15)   $${\cosh^4 x= \frac{1}{8} \cosh 4x+ \frac{1}{2} \cosh 2x-\frac{1}{8}}$$     (16)   $${\tanh^2 x=1-\frac{1}{\cosh^2 x}}$$

問 2.81 (双曲線関数)   $t$ を任意の実数とするとき， $x = 3 \cosh t$, $y = 2 \sinh t$ をみたす $(x,y)$ のグラフを描け．

問 2.82 (関数の性質)   関数 $f(x)=x^2$ は $x<0$ において単調減少であり， $x>0$ において単調増加であることを示せ．

問 2.83 (関数の性質)   次の関数が単調増加または単調減少となる $x$ の区間を述べよ．
    (1)  $\sin x$     (2)  $\cos x$     (3)  $\tan x$     (4)   $\mathrm{Sin}^{-1} x$     (5)   $\mathrm{Cos}^{-1} x$     (6)   $\mathrm{Tan}^{-1} x$     (7)  $e^x$
    (8)  $a^x$($a>1$)     (9)  $a^x$($0<a<1$)     (10)  $\log x$     (11)  $\log_a x$($a>1$)     (12)  $\log_a x$($0<a<1$)

問 2.84 (関数の性質)   次を求めよ．
    (1)   $${\sup(1,2]}$$, $${\inf(1,2]}$$, $${\max(1,2]}$$, $${\min(1,2]}$$     (2)   $${\sup[-2,4)}$$, $${\inf[-2,4)}$$, $${\max[-2,4)}$$, $${\min[-2,4)}$$
    (3)   $${\sup_{x\in[-1,1]}x^2}$$, $${\inf_{x\in[-1,1]}x^2}$$, $${\max_{x\in[-1,1]}x^2}$$, $${\min_{x\in[-1,1]}x^2}$$     (4)   $${\sup_{x\in(-1,1)}x^2}$$, $${\inf_{x\in(-1,1)}x^2}$$, $${\max_{x\in(-1,1)}x^2}$$, $${\min_{x\in(-1,1)}x^2}$$

問 2.85 (関数の性質)   次の関数についてグラフを描け． (i)-(iv)についても述べよ． (i)定義域と値域を述べよ． (ii)多価関数であるか述べよ．また多価関数である場合は何価であるか述べよ． (iii)周期関数の場合はその周期を述べよ． (iv)偶関数または奇関数である場合はその種別を述べよ．
    (1)   $x^2 + 5x + 6$     (2)   $x^2 + 3x + 2$     (3)  $2x+3$ の逆関数     (4)  $x^2$ の逆関数
    (5)  $x^2+2x+4$の逆関数     (6)  $e^x$     (7)  $\log x$     (8)  $1+e^{-x}$     (9)   $${\frac{1}{1+e^{-x}}}$$
    (10)   $e^x+e^{-x}$     (11)   $e^x-e^{-x}$     (12)  $e^{-x}$ の逆関数     (13)  $e^{-2x-1}$ の逆関数     (14)   $${\frac{x+1}{x-1}}$$
    (15)   $${\frac{2x-1}{x+3}}$$ の逆関数     (16)  $\sin x$     (17)  $\cos x$     (18)  $\tan x$     (19)   $\sin^{-1}x$     (20)   $\cos^{-1} x$
    (21)   $\tan^{-1} x$     (22)   $${\mathrm{Sin}^{-1} x }$$     (23)   $\mathrm{Cos}^{-1} x$     (24)   $\mathrm{Tan}^{-1} x$     (25)  $\sinh x$     (26)  $\cosh x$
    (27)  $\tanh x$     (28)   $\sinh^{-1}x$     (29)   $\cosh^{-1} x$     (30)   $\tanh^{-1}x$     (31)   $\mathrm{Cosh}^{-1} x$     (32)  $x\sin x$
    (33)  $\sin x^2$

問題	定義域	値域	価数	周期 (注1)	偶・奇関数 (注2)
(例1)	$${\ -\infty \textless x \textless \infty}$$	$${\ 0 \leq y \textless \frac{\pi}{2}}$$	2価	周期 $\pi$	奇
(例2)	$${\ 0 \textless x}$$	$${\ y \geq 1}$$	1価	周期 $2\pi$	偶
(例3)	$${\ - 1 \leq x \leq 1}$$	$${\ -\infty \textless y \textless \infty}$$	無限多価	$\times$	$\times$
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
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(14)
(15)
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(23)
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(32)
(33)

(注1)周期関数である場合は周期の値を書き， 周期関数ではない場合は×とする．
(注2)偶関数である場合は偶，奇関数である場合は奇， どちらでもない場合は×と書く．

平成21年6月1日