6.4 置換積分法

定理 6.6 (置換積分法)   積分変数を $x=\phi(t)$ と変換すると

$$\int f(x)\,dx= \int f(\phi(t))\phi'(t)\,dt= \int f(\phi(t))\frac{dx}{dt}\,dt$$

となる． また逆に $t=\psi(x)$ とおくと，

$$\int f(\psi(x))\psi'(x)\,dx= \int f(t)\,dt= F(t)+C= F(\psi(x))+C$$

となる． この積分の方法を 置換積分法（integration by substitution）という．

（証明）関数 $F(x)$ を $f(x)$ の原始関数とする． 変数 $x$ を $x=\phi(t)$ と変数変換する． このとき $${\frac{dF}{dt}}$$ は 合成関数の微分則より

$$\frac{dF(\phi(t))}{dt} = \frac{d}{dt}F(\phi(t))= F'(\phi(t))\phi'(t)= f(\phi(t))\phi'(t)$$

となる．両辺を $t$ で積分すると

$$\int\frac{dF}{dt}\,dt= \int f(\phi(t))\phi'(t)\,dt$$

を得る．左辺は

$$\int\frac{dF(\phi(t))}{dt}\,dt= F(\phi(t))+C=F(x)+C= \int f(x)\,dx$$

であるから証明終了．

例 6.7 (置換積分の使用例)   不定積分

$$I =\int(ax+b)^{m}\,dx$$

を計算する．まず

$$t =ax+b$$

と変数変換する．このとき両辺を $x$ で微分すると

$$\frac{dt}{dx} =a$$

であるので

$$\frac{dx}{dt} =\frac{1}{\frac{dt}{dx}}=\frac{1}{a}$$

を得る．これより置換積分法を用いると不定積分は

$$I = \int t^{m}\frac{dx}{dt}\,dt= \int t^{m}\frac{1}{a}\,dt= \frac{1... ...[3ex] \displaystyle{\frac{1}{a}\log\vert t\vert+C} & (m=-1) \end{array} \right.$$

となる．変数 $t$ を $x$ に戻すと

$$I = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{(ax+b)^{m+1}}{a(m... ...x] \displaystyle{\frac{1}{a}\log\vert ax+b\vert+C} & (m=-1) \end{array} \right.$$

を得る．

置換積分は慣れてくれば変数変換を省略して計算をする． 次のように式変形を行なう：

$$I = \int (ax+b)^{m}\,dx= \frac{1}{a}\int (ax+b)^{m}(ax+b)'\,dx= \le... ...\displaystyle{\frac{1}{a}\log\vert ax+b\vert+C} & (m=-1) \end{array} \right.\,.$$

例 6.8 (置換積分の使用例)  

$$I = \int\cos(ax+b)\,dx= \frac{1}{a} \int\cos(ax+b)(ax+b)'\,dx$$

$$= \frac{1}{a}\int\cos t\frac{dt}{dx}\frac{dx}{dt}\,dt= \frac{1}{a}\int\cos t\,dt= \frac{1}{a}\sin t+C= \frac{1}{a}\sin(ax+b)+C\,.$$

ここで，$t=ax+b$ とおき， $${\frac{dt}{dx}=(ax+b)'=a}$$, $${\frac{dt}{dx}\frac{dx}{dt}=1}$$ を用いた．

例 6.9 (置換積分の使用例)  

$$I =\int\tan x\,dx= \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx= -\int\frac{(\cos x)'}{\cos x}\,dx= -\int\frac{\frac{dt}{dx}}{t}\frac{dx}{dt}\,dt= -\int\frac{dt}{t}$$

$$= -\log\vert t\vert+C= -\log\vert\cos x\vert+C\,.$$

ここで，$t=\cos x$ とおき， $${\frac{dt}{dx}=(\cos x)'=-\sin x}$$, $${\frac{dt}{dx}\frac{dx}{dt}=1}$$ を用いた．

例 6.10 (置換積分の使用例)  

$$\int\cot x\,dx= \int\frac{\cos x}{\sin x}dx= \int\frac{(\sin t)'}... ...frac{dx}{dt}dt= \int\frac{dt}{t}= \log\vert t\vert+C= \log\vert\sin x\vert+C\,.$$

ここで， $t=\sin x$ とおき， $${\frac{dt}{dx}=\cos x}$$, $${\frac{dt}{dx}\frac{dx}{dt}=1}$$ を用いた．

例 6.11 (置換積分の使用例)  

$$I = \int\frac{dx}{a^2+x^2}= \frac{1}{a^2}\int\frac{dx}{1+\left(\fra... ...ac{x}{a}\right)^2}dx= \frac{1}{a}\int\frac{\frac{dt}{dx}}{1+t^2}\frac{dx}{dt}dt$$

$$= \frac{1}{a}\int\frac{dt}{1+t^2}= \frac{1}{a}\mathrm{Tan}^{-1}t+C= \frac{1}{a}\mathrm{Tan}^{-1}\frac{x}{a}+C\,.$$

ここで， $${t=\frac{x}{a}}$$ とおき， $${\frac{dt}{dx}=\left(\frac{x}{a}\right)'=\frac{1}{a}}$$, $${\frac{dt}{dx}\frac{dx}{dt}=1}$$ を用いた．

例 6.12 (置換積分の使用例)  

$$I = \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}= \int\frac{a\left(\frac{x}{a}\rig... ... \int\frac{\left(\frac{x}{a}\right)'} {\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}}\,dx$$

$$= \int\frac{\frac{dt}{dx}}{\sqrt{1-t^2}}\frac{dx}{dt}\,dt= \int\f... ...t{1-t^2}}= \mathrm{Sin}^{-1}t+C= \mathrm{Sin}^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\,.$$

ここで， $t=\displaystyle{\frac{x}{a}}$ とおき， $${\frac{dt}{dx}=\left(\frac{x}{a}\right)'=\frac{1}{a}}$$, $${\frac{dt}{dx}\frac{dx}{dt}=1}$$ を用いた．

例 6.13 (置換積分の使用例)  

$$\int\sqrt{a^2-x^2}\,dx= \int\sqrt{a^2-a^2\sin^2t}(a\cos t)\,dt= a^2\int\cos^2t\,dt= \frac{a^2}{2}\int(1+\cos 2t)\,dt$$

$$= \frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{4}\sin 2t= \frac{a^2}{2}\mathrm{Sin}^{-1}\frac{x}{a}+ \frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}+C\,.$$

ここで，$x=a\sin t$ とおき， $${\frac{dx}{dt}=a\cos t}$$ を用いて積分し，

$$\sin 2t= 2\sin t\cos t= 2\sin t\sqrt{1-\sin^2 t}= 2\frac{x}{a}\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}= 2\frac{x}{a^2}\sqrt{a^2-x^2}$$

を用いて変形した．

例 6.14 (置換積分の使用例)  

$$I = \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}= \frac{1}{a} \int\frac{1}{\sqrt{1... ...qrt{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}}\,dx= \sinh^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\,.$$

これで不定積分は得られたが他の表現も考える． 逆双曲線関数は

$$\sinh^{-1}x = \log(x+\sqrt{x^2+1})$$

とも表される．これを用いると不定積分は

$$I =\log\left( \frac{x}{a}+ \sqrt{\left(\frac{x}{a}\right)^2+1} \right)+C$$

となる．またこれを変形すると

$$I =\log \frac{1}{a} \left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C= \log\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C-\log a$$

となる． $C$ は任意の定数なので $C-\log a$ をあらためて $C$ と おき直すと

$$I = \log\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C$$

を得る． 以上得られた結果は 任意定数分の不定性を除けば全て同じ不定積分である．

注意 6.15 (不定積分の関数の表現)   不定積分は計算の方法により得られる結果が一見すると 違うときがある． これは不定積分が任意定数の不定性をもつためである． 注意が必用である．

例 6.16 (置換積分の使用例)  

$$I =\int\frac{dx}{x^2-a^2}= \frac{1}{a^2}\int\frac{dx}{\left(\frac{x... ...\int\frac{\frac{dt}{dx}}{t^2-1}\frac{dx}{dt}dt= \frac{1}{a}\int\frac{dt}{t^2-1}$$

$$= \frac{1}{a}\mathrm{Tanh}^{-1}t+C= \frac{1}{a}\mathrm{Tanh}^{-1}\frac{x}{a}+C.$$

ここで， $t=\displaystyle{\frac{x}{a}}$ とおき， $${\frac{dt}{dx}=\left(\frac{x}{a}\right)'=\frac{1}{a}}$$, $${\frac{dt}{dx}\frac{dx}{dt}=1}$$ を用いた．

例 6.17 (置換積分の使用例)  

$$I =\int\frac{dx}{x^2-a^2}= \frac{1}{2a}\int\left(\frac{1}{x-a}-\fra... ...a}\right)\,dx= \frac{1}{2a}\left(\log\vert x-a\vert-\log\vert x+a\vert\right)+C$$

$$= \frac{1}{2a}\log\left\vert\frac{x-a}{x+a}\right\vert+C\,.$$

例 6.18 (置換積分の使用例)  

$$I = \int\frac{(x+2)\,dx}{\sqrt{1-2x^2}} = \int\frac{x\,dx}{\sqrt{1-... ...ight)^{-\frac{1}{2}}\,dx + \int\frac{2\,dx} {\sqrt{1-\left(\sqrt{2}x\right)^2}}$$

$$= -\frac{1}{4} \int \left(1-2x^2\right)' \left(1-2x^2\right)^{-\f... ...{2}} \int\frac{\left(\sqrt{2}x\right)'\,dx} {\sqrt{1-\left(\sqrt{2}x\right)^2}}$$

$$= -\frac{1}{4}\cdot 2\cdot \left(1-2x^2\right)^{\frac{1}{2}} + \f... ...rac{1}{2} \sqrt{1-2x^2} + \sqrt{2}\mathrm{Sin}^{-1}\left(\sqrt{2}x\right)+ C\,.$$

例 6.19 (置換積分の計算例)  

$$I = \int\frac{2x-1}{x^2-2x+1}dx= \int\frac{(2x-2)+1}{x^2-2x+1}dx= \int\frac{(x^2-2x+1)'}{x^2-2x+1}dx+ \int\frac{dx}{(x-1)^2}$$

$$= \log\vert x^2-2x+1\vert-\frac{1}{x-1}+C= \log(x-1)^2-\frac{1}{x-1}+C= 2\log\vert x-1\vert-\frac{1}{x-1}+C.$$

例 6.20 (置換積分の計算例)  

$$I = \int\frac{1+x}{1+x^2}dx= \int\frac{dx}{1+x^2}+ \int\frac{x}{1+x^2}dx$$

$$= \int\frac{dx}{1+x^2}+ \frac{1}{2}\int\frac{(1+x^2)'}{1+x^2}dx= \mathrm{Tan}^{-1}x+\frac{1}{2}\log(1+x^2)+C.$$

例 6.21 (置換積分の計算例)  

$$I = \int\frac{x}{1+x^4}dx= \int\frac{x}{1+t^2}\frac{1}{2x}dt= \frac... ...dt}{1+t^2}= \frac{1}{2}\mathrm{Tan}^{-1}t+C= \frac{1}{2}\mathrm{Tan}^{-1}x^2+C.$$

ここで，$t=x^2$ とおき， $${\frac{dt}{dx}=2x}$$, $${\frac{dx}{dt}=\frac{1}{2x}}$$ を用いた．

例 6.22 (置換積分の計算例)  

$$I = \int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}dx= \int\frac{x^2}{\sqrt{1-t^2}}\fr... ...rt{1-t^2}}= \frac{1}{3}\mathrm{Sin}^{-1}t+C= \frac{1}{3}\mathrm{Sin}^{-1}x^3+C.$$

ここで， $t=x^3$ とおき， $${\frac{dt}{dx}=3x^2}$$, $${\frac{dx}{dt}=\frac{1}{3x^2}}$$ を用いた．

例 6.23 (置換積分の計算例)  

$$I = \int\frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}= \int\frac{dx}{\sqrt{x}\sqrt{2-x}}... ...}}= \frac{2}{\sqrt{2}}\int\frac{dt}{\sqrt{1-\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)^2}}$$

$$= \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\int\frac{\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\ri... ...^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)+C= 2\mathrm{Sin}^{-1}\sqrt{\frac{x}{2}}+C.$$

ここで， $t=\sqrt{x}$, $x=t^2$ とおき， $${\frac{dx}{dt}=2t}$$ を用いた．

平成21年6月1日