5.9 解析関数

定理 5.15 (解析関数の性質) 関数 , が解析的であるとき，次の関数

$\displaystyle \alpha\,f(x)+\beta\,g(x)\,,\quad f(x)g(x)\,,\quad \frac{f(x)}{g(x)}\,,\quad f(g(x))$

もまた解析的である．

例 5.16 (テイラー級数の計算例) 関数 $f(x)=e^{x}$ のテイラー級数は

$\displaystyle f(x)$

$\displaystyle =e^{x}= 1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\cdots = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^{n}$

と表わされる．このとき $g(x)=e^{\alpha x}$ のテイラー級数を求める．はを用いると $g(x)=f(\alpha x)$ と書ける．のテイラー級数のに $\alpha x$ を代入すると

$\displaystyle g(x)=e^{\alpha\,x}$	$\displaystyle = 1+(\alpha\,x)+\frac{1}{2}(\alpha\,x)^2+ \frac{1}{6}(\alpha\,x)^3+\cdots$
	$\displaystyle =1+\alpha\,x+\frac{\alpha^2}{2}x^2+ \frac{\alpha^3}{6}x^3+\cdots$

を得る．この展開式はテイラー級数の公式をに適用したものと同じものとなる．同様に $g(x)=e^{-x^2}$ のテイラー級数は

$\displaystyle g(x)$	$\displaystyle =f(-x^2)=e^{-x^2}= 1+(-x^2)+\frac{1}{2}(-x^2)^2+\frac{1}{6}(-x^2)^3+\cdots$
	$\displaystyle =1-x^2+\frac{1}{2}x^4-\frac{1}{6}x^6+\cdots$
	$\displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(-x^2\right)^n =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n}$

と求まる．