5.1 テイラー級数

べき級数 $\sum c_{n}\,(x-a)^n$ は $x$ についての関数である． これを

$$f(x) =\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^n \qquad (\vert x-a\vert<r)$$

$$= c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^2+\cdots+ c_{n}(x-a)^{n}+\cdots$$

とおく． 数列 $\{c_{n}\}$ が一つ与えられると 関数 $f(x)$ が一つ定まる． すなわち

$$\,\,\{c_{n}\} \quad\to \,\,f(x)\quad(\vert x-a\vert<r)$$

との対応関係がある． それでは関数 $f(x)$ が一つ与えられたとき， べき級数 $\sum c_{n}(x-a)^n$ の係数である $\{c_{n}\}$ は どのような値に定まるであろうか． すなわち，問題として対応関係

$$\,\,f(x) \quad\to \,\,\{c_{n}\}=\,?$$

を考える．

定理 5.1 (テイラー級数)   関数 $f(x)$ が $\infty$ 回微分可能なとき，

$$f(x) = f(a)+ \frac{f'(a)}{1!}(x-a)+ \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+ \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+$$

$$\qquad\qquad\cdots+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\cdots$$

$$=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}}{n!}(x-a)^{n}\qquad (\vert x-a\vert<r)$$

が成り立つ． ただし点 $x=a$ は定義内のある点とする． このべき級数を関数 $f(x)$ に関する $x=a$ まわりの テイラー級数（Taylor series）と呼ぶ． 特に $a=0$ のときは， マクローリン級数（Maclaurin series）と呼ぶ．

注意 5.2 (テイラー級数の収束半径)   テイラー級数はべき級数 $\sum c_{n}(x-a)^n$ を

$$c_{n}=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$$

とおいたものである． よってテイラー級数の収束半径は

$$r = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \... ...rt= \lim_{n\to\infty} \left\vert(n+1)\frac{f^{(n)}(a)}{f^{(n+1)}(a)}\right\vert$$

により求まる．

平成21年6月1日