4.24 直線の線形変換

問 4.113 (直線の線形変換)   直線 $y=2x-1$ を線形変換

$$f: \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix}1 & -2 \\ 2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}$$

で写してできる直線を求めよ． また，$f$ で動かない点を求めよ．

問 4.114 (直線の線形変換)   線形変換

$$f: \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}$$

は直線 $y=\alpha\,x+\beta$ をある 1 点に写すとする． このとき $a,b,c,d$ の条件を求めよ． また，その点を求めよ．

注意 4.115 (直線の線形変換)   線形変換 $f:\vec{x}\mapsto A\vec{x}$ により， 直線を直線へ写すときは

$$\mathrm{rank}\,(f)=\dim(\mathrm{Im}(f))=2$$

である． 直線を 1 点へ写すときは

$$\mathrm{rank}\,(f)=\dim(\mathrm{Im}(f))=1$$

である．

平成20年2月2日