4.12 正則変換と逆変換

定義 4.54 (正則変換)   線形変換 $f:V\to V$ が上への 1 対 1 写像であるとき， $f$ を正則変換（regular mappping） という．

注意 4.55 (逆変換)   上への 1 対 1 写像であれば逆変換 $f^{-1}$ が存在する． 正則変換は逆変換が存在する線形変換である，と読み替えてもよい．

定理 4.56 (正則変換と正則行列)   線形写像 $f$ が正則変換であることと， $f$ の表現行列が正則行列であることとは必用十分な条件である．

（証明）     ( $\Rightarrow$) 写像 $f$, $g$, $h$ の表現行列を $A$, $B$, $C$ とする． このとき

$$g\circ f=h \quad\Leftrightarrow\quad BA=C$$

が成り立つ． 恒等変換の表現行列は単位行列 $E$ であるから， $g=f^{-1}$ のとき

$$f^{-1}\circ f=\mathrm{id} \quad\Leftrightarrow\quad BA=E$$

が成り立つ．よって $B=A^{-1}$ を得る．

注意 4.57 (逆変換と逆行列)   $f^{-1}$ が存在することと， $f$ の表現行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ が存在することは等価である．

例 4.58 (正則変換の具体例)   線形写像 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;$

$$f\left( \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix} \right)= \begin{bmatr... ...gin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix} \right)= \begin{bmatrix}-4 \\ 2 \end{bmatrix}$$

の表現行列とその行列式は

$$A= \begin{bmatrix}-1 & 3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \det(A)= \begin{vmatrix}-1 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} =-10\neq0$$

である． $A$ は正則行列であるから，$f$ は正則変換である．

例 4.59 (正則変換ではない具体例)   射影変換 $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$; $\vec{y}=f(\vec{x})=\vec{x}-(\vec{x},\vec{e}_{3})\vec{e}_{3}$ の 表現行列とその行列式は

$$A= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatri... ...ad \det(A)= \begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} =0$$

である． よって $A$ は正則でないので $f$ もまた正則ではない．

例えば点 $(x_{1},x_{2},1)$ と点 $(x_{1},x_{2},2)$ を 射影変換 $f$ で写すとどちらも点 $(x_{1},x_{2},0)$ に写される． 他にも点 $(x_{1},x_{2},0)$ を通り軸 $x_3$ に平行な直線上の点は全て $f$ により点 $(x_{1},x_{2},0)$ に写される． 逆変換 $f^{-1}$ を考えるとき点 $(x_{1},x_{2},0)$ から戻され点は 直線上に無限に存在することになる． よって $f$ は 1 対 1 写像ではない． また， $\mathbb{R}^3$ の任意の点は $f$ により 全て $x_{1}x_{2}$ 平面上に写される． $x_{1}x_{2}$ 平面は $\mathbb{R}^3$ の部分空間であるので， $f$ は上への写像でもない．

注意 4.60 (核と正則変換)   線形変換 $f:V\to V$ が $\mathrm{null}(f)>0$ のとき， $f$ は正則変換ではない． なぜなら， $\mathrm{Ker}\,(f)$ のすべての元は $\vec{0}_V$ に写されるので， $\vec{0}_V$ の逆元は存在しない． よって，$f$ は 1 対 1 の写像ではなく，正則変換はない．

平成20年2月2日