2.10 ベクトルの直交

定義 2.37 (ベクトルの直交)   $\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)=0$ のとき $\vec{a}$ と $\vec{b}$ は 直交する（orthogonal）という． このとき $\vec{a}\perp\vec{b}$ と表記する．

例 2.38 (ベクトルの直交の具体例)   ベトクル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{2}$$

を考える．このとき

$$\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)= 1\times1+1\times(-1)=0$$

が成り立つ． $\vec{a}$ と $\vec{b}$ は互いに直交する．

定義 2.39 (直交系)   ベクトルの組 $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n$ が 互いに直交するとき，すなわち，

$$\left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_j}\right)=0,\quad i\neq j$$

をみたすとき， $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n$ を 直交系（orthogonal system）という．

例 2.40 (ベクトルの直交の具体例)   ベトクル

$$\vec{e}_{1}= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatr... ...n}= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\, \in\mathbb{R}^{n}$$

は直交系である．なぜなら $i\neq j$ に対して

$$\left({\vec{e}_{i}}\,,\,{\vec{e}_{j}}\right)=0$$

をみたすからである．

問 2.41 (ベクトルの直交)   次のベクトルの組は直交系であることを示せ．

(1) $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^2}$$          (2) $${ \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^2}$$          (3) $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^3}$$

平成20年2月2日