5.8 有理式関数のマクローリン級数

例 5.16 (有理関数のテイラー級数)

$\displaystyle \frac{1}{1-x}$

$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}= 1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots \quad (\vert x\vert<1)$

（導出）とおく．導関数を計算すると

$\displaystyle f(x)$

$\displaystyle =\frac{1}{1-x}\,,\quad f'(x)=\frac{1}{(1-x)^2}\,,\quad f''(x)=\frac{2\cdot1}{(1-x)^3}\,,\quad f'''(x)=\frac{3\cdot2\cdot1}{(1-x)^4}\,,\quad \cdots$

である．一般的には

$\displaystyle f^{(n)}(x)$

$\displaystyle = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}\,, \qquad n=0,1,2,\cdots$

と表わされる．点における微分係数は

$\displaystyle f^{(n)}(0)$

$\displaystyle =n!\,, \qquad n=0,1,2,\cdots$

と得られる．よってテーラー級数は

$\displaystyle f(x)$

$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}$

となる．収束半径は $c_{n}=1$ とおくと

$\displaystyle r$

$\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert=1$

と得られる．