4.18 演習 〜 数列，級数

問 4.74 (数列)   次の数列について     (i)概形を書け．(ii)一般項を表せ．(iii)極限を求めよ．
    (1)   $1,3,9,27,81,243,\dots$     (2)   $2,4,8,16,32,64,\dots$     (3)   $3,7,11,15,19,23,\dots$     (4)   $${1,\frac{1}{2},\frac{3}{7}, \frac{2}{5},\frac{5}{13},\frac{3}{8},\cdots}$$
    (5)   $${1,\frac{1}{2},\frac{1}{5},\frac{1}{8},\frac{1}{11}, \frac{1}{14},\cdots}$$     (6)   $${1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\dots}$$     (7)   $${1,\frac{1}{2},\frac{1}{5},\frac{1}{8},\frac{1}{11}, \frac{1}{14},\cdots}$$     (8)   $${1,\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7}, \frac{1}{9},\frac{1}{11}\cdots}$$
    (9)   $${\frac{1}{3},\frac{5}{9},\frac{5}{7}, \frac{17}{21},\frac{13}{15},\frac{37}{41},\cdots}$$     (10)   $${\frac{1}{3},\frac{3}{4},1,\frac{7}{6},\frac{9}{7},\frac{11}{8},\dots}$$     (11)   $${1,\frac{3}{4},\frac{5}{7}, \frac{7}{10},\frac{9}{13},\frac{11}{16},\cdots}$$
    (12)   $${1,\frac{3}{4},\frac{5}{7}, \frac{7}{10},\frac{9}{13},\frac{11}{16},\cdots}$$     (13)   $${1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}, \frac{1}{5},\frac{1}{6}\cdots}$$

問 4.75 (数列)   次の一般項で定義される数列について (i)概形を書け．(ii)有限確定，有限不確定, 無限確定，無限不確定 のいずれであるか答えよ．
    (1)  $a_n= n$     (2)  $a_n= -n$     (3)   $a_n= (-1)^{n-1}$
    (4)   $${a_n= (-1)^{n-1}n}$$     (5)   $a_n= (-1)^n2^{-n}$
    (6)   $a_n= \frac{1}{n}$     (7)   $${a_n= \frac{1}{n(n+1)}}$$

問 4.76 (数列の極限)   極限 $${\lim_{n\to\infty}a_{n}}$$ の定義を述べよ．

問 4.77 (数列の極限)   次の極限値を求めよ．
    (1)   $${\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+1}-1}{n}}$$     (2)   $${\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+3n-1}{n-2}}$$     (3)   $${\lim_{n\to\infty}\frac{n+5}{1-2n}}$$     (4)   $${\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+2}}{3n-1}}$$
    (5)   $${\lim_{n\to\infty}\frac{2n^4+3n^2}{n^2+2n-3}}$$     (6)   $${\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+7n-4}{n^2+n+1}}$$     (7)   $${\lim_{n\to\infty}\frac{(1+n)^4}{(1+2n^2)^2}}$$     (8)   $${\lim_{n\to\infty}\frac{(n+3)(n-4)}{(n-1)(n-2)}}$$
    (9)   $${\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n}+2^n}{3^n}}$$     (10)   $${\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n-1}}{1+2^n}}$$     (11)   $${\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n}$$     (12)   $${\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{6n}\right)^{-3n}}$$
    (13)   $${\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}$$     (14)   $${\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}$$     (15)   $${\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+5n-3}{n^2+3n}}$$

問 4.78 (数列の性質)   数列 $${a_{n}=\frac{n+1}{2^{n}}}$$ について 次の問いに答えよ．
    (1)  数列 $\{a_{n}\}$ の概形を書け．     (2)  数列 $\{a_{n}\}$ は単調減少であることを示せ．
    (3)  数列 $\{a_{n}\}$ は下に有界であることを示せ．     (4)  極限 $${\lim_{n\to\infty}a_{n}}$$ を求めよ．

問 4.79 (等比数列)   等比数列$a_n=r^n$ $(0<r<1)$ の極限が0になることを証明せよ．

問 4.80 (級数)   級数 $${\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}}$$ の定義を述べよ．

問 4.81 (級数)   次の級数について(i) 級数の第 $n$ 部分和 $S_{n}$ を求めよ． (ii) 数列 $\{S_{n}\}$ の概形を書け． (iii) 級数の値を求めよ．
    (1)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{9}{10^n}}$$     (2)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^n}}$$     (3)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n-1}}}$$     (4)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}}$$     (5)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^2-1}}$$     (6)   $${\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}}$$
    (7)   $${\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{2n+1}{n(n+1)}}$$

問 4.82 (級数)   次の級数の値を求めよ．
    (1)   $${\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}}$$     (2)   $${\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^n}}$$     (3)   $${\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}}$$     (4)   $${\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{2n}}}$$     (5)   $${\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4^n}}$$     (6)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^n+2^n+3^n}{4^n}}$$
    (7)   $${\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n+3^n+4^n}{5^n}}$$     (8)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^n+3^n+5^n}{6^n}}$$     (9)   $${\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{2n+1}{n(n+1)}}$$

問 4.83 (級数の収束)   次の級数は収束するか発散するか述べよ．
    (1)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}$$     (2)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}}$$     (3)   $${\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n}{n^2-1}}$$     (4)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+2}{n^2+1}}$$     (5)   $${\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}}$$     (6)   $${\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^2}{n!}}$$
    (7)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{n!}}$$     (8)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{2^n}}$$     (9)   $${\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!}{e^n}}$$     (10)   $${\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n^2}}$$     (11)   $${\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(\log{n})^n}}$$     (12)   $${\sum_{n=1}^{\infty}n\sin{\frac{\pi}{2^n}}}$$
    (13)   $${\sum_{n=3}^{\infty}\left(\frac{n-2}{3n-5}\right)^n}$$     (14)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^2}2^{-n}}$$     (15)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}}$$     (16)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+1}{n}\right)^{n}}$$
    (17)   $${\sum_{n=3}^{\infty}\left(\frac{4n-2}{3n-5}\right)^n}$$

問 4.84 (級数の収束)   次の級数が絶対収束級数か条件収束級数か答えよ．
    (1)   $${\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\log{n}}{n}}$$     (2)   $${\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n-1}}$$     (3)   $${\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n}}}$$     (4)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2^n}}$$
    (5)   $${\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{2^n}{n!}}$$     (6)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n!}}$$     (7)   $${\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\log n}{n^2}}$$     (8)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin na}{n^2}}$$     (9)   $${\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{{1}}{2^n}}$$
    (10)   $${\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}}$$     (11)   $${\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{a^n}{n!}}$$

平成19年10月3日