3.13 双曲線関数の微分

次: 3.14 逆双曲線関数の微分上: 3 微分法前: 3.12 逆三角関数の微分

3.13 双曲線関数の微分

定理 3.29 (双曲線関数の微分)

$\displaystyle \frac{d}{dx}\,\sinh x$ $\displaystyle =\cosh x$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\,\cosh x$ $\displaystyle =\sinh x$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\,\tanh x$ $\displaystyle =\frac{1}{\cosh^2 x}$

問 3.30 これを示せ．

$y=f(x)=\sinh(x)$ とおく．このとき

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$ $\displaystyle =f'(x)=\frac{d}{dx}\sinh(x)= \frac{d}{dx}\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}= \frac{1}{2}\left(\frac{d}{dx}e^{x}-\frac{d}{dx}e^{-x}\right)$

$\displaystyle = \frac{1}{2}\left(e^{x}+e^{-x}\right)=\cosh(x)$

を得る．次に $y=f(x)=\cosh(x)$ とおく．このとき

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$ $\displaystyle =f'(x)=\frac{d}{dx}\cosh(x)= \frac{d}{dx}\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}= \frac{1}{2}\left(\frac{d}{dx}e^{x}+\frac{d}{dx}e^{-x}\right)$

$\displaystyle = \frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right)=\sinh(x)$

を得る．最後に $y=f(x)=\tanh(x)$ とおく．このとき

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$ $\displaystyle =f'(x)=\frac{d}{dx}\tanh(x)= \frac{d}{dx}\left(\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\right)= \frac{(\sinh x)'\cosh x-\sinh x(\cosh x)'}{\cosh^2x}$

$\displaystyle = \frac{\cosh^2 x-\sinh^2 x}{\cosh^2x}= \frac{1}{\cosh^2x}$

を得る．

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平成19年10月3日