3.10 実数べきのべき関数の微分

定理 3.24 (べき関数の微分)

$\displaystyle \frac{d}{dx}\,x^{\alpha}= \alpha\,x^{\alpha-1} \quad(\alpha\in\mathbb{R})$

（証明） $(\log x)'=1/x$ と $(e^{x})'=e^{x}$ は証明済みである．これを用いて証明をする．このとき

$\displaystyle y$

$\displaystyle =f(x)=x^{\alpha}=(e^{\log x})^{\alpha}=e^{\alpha\,\log x}$

と表されるのでこれを微分すると

$\displaystyle y'$

$\displaystyle = \left(e^{\alpha\,\log x}\right)'= \left(e^{\alpha\,\log x}\righ... ...lpha\,\log x}\frac{\alpha}{x}= x^{\alpha}\frac{\alpha}{x}= \alpha\,x^{\alpha-1}$

を得る．