2.36 双曲線関数の極限の計算

例 2.133 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to+\infty}\tanh x= \lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}= \lim_{x\to+\infty}\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}= \frac{1-0}{1+0}=1\,.$$

$$\lim_{x\to-\infty}\tanh x= \lim_{x\to-\infty}\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}= \lim_{x\to-\infty}\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}= \frac{0-1}{0+1}=-1\,.$$

例 2.134 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to0}\frac{\sinh x}{x}= \lim_{x\to0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{2x... ...2x e^x}= \lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{2x}\frac{1}{e^x}= 1\cdot\frac{1}{e^0}=1\,.$$

例 2.135 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to0}\frac{\cosh x-1}{x}= \lim_{x\to0}\frac{\displaystyle{... ...= \lim_{x\to0}\frac{e^x+e^{-x}-2}{2x}= \lim_{x\to0}\frac{e^{2x}+1-2e^x}{2x e^x}$$

$$= \lim_{x\to0}\frac{(e^{x}-1)^2}{2x e^x}= \lim_{x\to0}\left(\frac{e^{x}-1}{x}\right)^2\frac{x}{2e^x}= 1^2\cdot\frac{0}{2e^0}=0\,.$$

例 2.136 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to0}\frac{\tanh x}{x}= \lim_{x\to0}\frac{\sinh x}{x}\frac{1}{\cosh x}= 1\cdot\frac{1}{\cosh 0}=1\,.$$

平成19年10月3日