2.25 $\epsilon$ -$\delta$ 論法

定義 2.88 (関数の極限)   関数 $f(x)$ が次の条件(i)をみたすとき，

$$\lim_{x\to a}f(x)=b$$

と表記する．

(i) $\forall\epsilon>0$ に対して

$$0<\vert x-a\vert<\delta \quad\Rightarrow\quad \vert f(x)-b\vert<\epsilon$$

をみたす $\delta>0$ が存在する．

定義 2.89 (関数の連続)   関数$f(x)$ が点 $x=a$ で連続であるとは， $\forall\epsilon>0$ に対して

$$0<\vert x-a\vert<\delta \quad\Rightarrow\quad \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon$$

をみたす $\delta>0$ が存在するときをいう．

定義 2.90 (一様連続)   関数 $f(x)$ が定義域 $I$ において一様連続であるとは， $\forall\epsilon>0$ に対して

$$\forall x,y\in I,\quad 0<\vert x-y\vert<\delta \quad\Rightarrow\quad \vert f(x)-f(y)\vert<\epsilon$$

をみたす $\delta>0$ が存在するときをいう．

定理 2.91 (連続と一様連続)   関数 $f(x)$ が区間 $I=[a,b]$ 連続なとき， $f(x)$ は $I$ において一様連続である．

注意 2.92 (連続と一様連続)   開区間 $(a,b)$ において連続なときは一様連続になるとは限らない．

平成19年10月3日