1.1 集合

定義 1.1 (集合)   ある一定範囲にある対象物の集まりを１つの全体として考えるとき， これを集合（set）という． その範囲内の個々の対象物を元 または要素（element）という． $x$ が集合 $X$ の元であることを $x$ は $X$ に属する（belong）， または $X$ は $x$ を含む（包含する）（contain）といい， $x\in X$ と表記する．その否定を $x\notin X$ と表記する．

ある元 $x$ が条件 $C(x)$ をみたすとする． このとき条件をみたす $x$ 全体の集合を

$$X=\{x\,\vert\,C(x)\}$$

と表記する．

例 1.2 (集合の具体例)  

$$\quad \mathbb{N} =\left\{1,2,3,4,5,\cdots\right\}\,.$$

$$\quad \mathbb{Z} =\left\{\cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots\right\}\,.$$

$$\quad \mathbb{Q} =\left\{\left.\,{\frac{a}{b}}\,\,\right\vert\,\,{a,b\in\mathbb{Z}}\,\right\}\,.$$

$$\quad \mathbb{R} =\{ \}$$

$$=\left\{\left.a.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\cdots \,\right\vert\,a\in\mathbb{Z}\,. b_{1},b_{2},\cdots\in\{0,1,2,\cdots,9\}\,\right\}\,.$$

$$\quad \mathbb{C} =\left\{\left.\,{a+ib}\,\,\right\vert\,\,{a,b\in\mathbb{R},\,\,i^2=-1}\,\right\}\,.$$

定義 1.3 (集合の包含関係)    

• 元を１つも含まない集合を空集合（empty set）といい， $X=\emptyset$ と表記する．
• 集合 $X$ と $Y$ に含まれる元が全て等しいとき $X=Y$ と表記する． $X=Y$ ではないとき $X\neq Y$ と書く．
• $X$ に含まれる全ての元が $Y$ に含まれるとき， $Y$ は $X$ を含む（contain）， または，$X$ は $Y$ の部分集合（subset）といい， $X\subset Y$ と表記する． $X\subset Y$ ではないとき $X\not\subset Y$ と書く．

注意 1.4 (真部分集合)   $X\subset Y$ は定義より $X=Y$ の意味も含む． $X\subset Y$ で $X\neq Y$ のときは， $X$ は $Y$ の真部分集合（proper subset）という． これを $X\subsetneq Y$ と表記する． 書物によっては部分集合に $\subseteq$ を用い， 真部分集合に $\subset$ を用いる場合もあるので注意が必要である．

例 1.5 (包含関係の具体例)  

$$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}\,.$$

例 1.6 (包含関係の具体例)  

$$X =\left\{(x,y)\,\vert\,x+y\leq1\right\}\,, \qquad Y=\left\{(x,y)\,\vert\,x+y\leq0\right\}\,$$

のとき

$$X\supset Y$$

が成立する．

平成19年10月3日