6.2 不定積分の性質

定理 6.2 (不定積分の性質)  

$$(1)\qquad \frac{d}{dx}\int f(x)\,dx=f(x)$$

$$(2)\qquad \int F'(x)\,dx=F(x)+C$$

$$(3)\qquad \int(\alpha\,f(x)+\beta\,g(x))\,dx= \alpha\,\int f(x)\,dx+ \beta\,\int g(x)\,dx$$

（証明）    定義 より

$$\int f(x)\,dx =F(x)+C \quad \Leftrightarrow \quad \frac{dF(x)}{dx}=f(x)$$

とする．

(1)

$$= \frac{d}{dx} \int f(x)\,dx= \frac{d}{dx}\left( F(x)+C \right)= \frac{dF(x)}{dx}= f(x)= \,.$$ （左辺）

(2)

$$= \int F'(x)\,dx= \int \frac{dF(x)}{dx}\,dx= \int f(x)\,dx= F(x)+C= \,.$$ （左辺）

問 6.3 (不定積分の性質)   定理 (3) を示せ．

注意 6.4 (不定積分の性質)   定理 (1), (2) より

$$\left(\frac{d}{dx}\right) \left(\frac{d}{dx}\right)^{-1}f(x) = f(x)\,,$$

$$\left(\frac{d}{dx}\right)^{-1} \left(\frac{d}{dx}\right)f(x) = f(x)+C\,$$

が成り立つ． 微分と不定積分の演算は可換ではない．

平成19年10月3日