1.5 演習問題 〜 変数分離型，同次型，完全微分型

問 1.15 (変数分離型)   次の変数分離型方程式の一般解を求め解曲線を図示せよ． また，初期条件 $y(0)=y_0$ のときの特殊解もそれぞれ求めよ．
    (1)    $y'=-\mu y$     (2)     $${y'=\frac{x}{y}}$$     (3)    $xy'+y=0$     (4)     $${y'=\mu y\left(1-\frac{y}{K}\right)}$$
    (5)     $y'=(1+x)\sec y$     (6)     $(x+xy)y'=y-xy$     (7)     $(x+1)y'-x(y^2+1)=0$
    (8)     $y^2y'+xy^3=x$     (9)     $y'+y\tan x=0$     (10)    $y'=ax+by$ ($z=ax+by$ とおく)
    (11)    $y'=x^2y$     (12)    $xy'+y=2xy$     (13)     $${y=x(x+1)y'}$$     (14)     $${(1-x)y'=1+y}$$
    (15)    $y'+1=x+2y$ ($z=x+2y-1$ とおく)     (16)     $y'+1=e^{x+y}$ ($z=x+y$ とおく)
    (17)    $2xy'=y$     (18)    $yy'+x=0$     (19)    $y+xy'=0$     (20)    $xy'+1=y$
    (21)     $(y+1)y'+x=1$     (22)    $yy'=x^2+3$     (23)     $(1+x)y+x(1-y)y'=0$
    (24)     $y'\cos^2x+\sin x\cos^2 y=0$     (25)     $(1+y)xy'+(1+x)y=0$     (26)     $y'+y\tan x=0$
    (27)     $xy'=y(y-1)$     (28)    $y'+ay=bx$ (変数変換要)     (29)    $y'=y+cx^2$ (変数変換要)

問 1.16 (同次型)   次の同次型方程式の一般解を求めよ． また，初期値 $y(0)=y_0$ における特殊解を求めよ． さらには，解曲線を図示せよ．
    (1)    $yy'+x=0$     (2)     $xy'=\alpha y$     (3)     $(x^2-y^2)y'=2xy$     (4)     $yy'+x+2y=0$
    (5)    $xy'+y=2x$     (6)     $(x+y)y'+y=x$     (7)     $xyy'+x^2=y^2$     (8)     $2xyy'+x^2=y^2$
    (9)     $x(x-y)y'+y^2=0$     (10)     $2xyy'+y^2=x^2$     (11)    $x+yy'=2y$     (12)     $(x+y)y'+y=x$
    (13)     $xy'=y+\sqrt{x^2+y^2}$     (14)     $${x\cot\frac{y}{x}+xy'=y}$$     (15)     $${xy'=y+x\sin\frac{y}{x}}$$
    (16)     $(x+y+4)y'+x-y-2=0$     (17)    $yy'+y=2x$     (18)     $(x-y)y'=x+y$

問 1.17 (完全微分型)   次の方程式の一般解を求めよ．
    (1)     $x+4y+(4x+3y)y'=0$     (2)     $y\sin x-y'\cos x=0$     (3)     $2xe^y+1+(x^2e^y+2y)y'=0$
    (4)     $4x^3+3x^2y-3y^3+(x^3-9xy^2-4y^3)y'=0$     (5)     $e^{x/y}+(1-x/y)e^{x/y}y'=0$
    (6)     $x^3+4x^3y^3+(y^2+3x^4y^2)y'=0$     (7)     $(x-y+1)y'-x+y+2=0$
    (8)     $(x^2+4xy+3)y'+e^x+2xy+2y^2=0$     (9)     $(x\cos y+2y^3)y'+\sin y+3x^2-1=0$
    (10)    $y'+x+2y=0$     (11)     $(2xy^2+3y)y'+y^3=0$     (12)     $xy'\cos y+\sin y=0$
    (13)     $y'\sin x\sinh y+\cos x\cosh y=0$     (14)     $(2y-x-1)y'+2x-y+1=0$
    (15)     $(x^2-y^2)y'+x^2+2xy=0$     (16)     $x^2-2y+(y^2-2x)y'=0$
    (17)     $3(x^2+x^2y^2)+2(y+x^3y)y'=0$     (18)     $${\frac{x}{x^2-y^2}-\frac{yy'}{x^2-y^2}=0}$$

問 1.18 (完全微分型)   次の方程式の積分因子を求め一般解を求めよ．
    (1)     $\cos y-y'\sin y=0$     (2)     $2y/x+1+y'=0$     (3)     $y^2-2xy+(4y^2+3xy-2x^2)y'=0$
    (4)     $xy^2+y^3+(x^3+3x^2y+xy^2)y'=0$     (5)    $y'+x+2y=0$     (6)     $(2xy^2+3y)y'+y^3=0$
    (7)     $x(3y^2+x)y'+y(2y^2+3x)=0$     (8)    $xy'+1=0$     (9)     $xy'\log\vert x\vert+y=0$
    (10)    $y-xy'=0$     (11)    $2y-xy'=0$     (12)     $1+y^2+xyy'=0$     (13)     $\cot y-x y'=0$

問 1.19 (直交曲線族)   次の曲線族の直交曲線族を求め図示せよ．
    (1)     $x^2+y^2=r^2$     (2)     $${\left(\frac{x}{3a}\right)^2+\left(\frac{y}{2a}\right)^2=1}$$     (3)     $${\left(\frac{x}{2a}\right)^2-\left(\frac{y}{a}\right)^2=1}$$
    (4)     $x^2+y^2-2rx=0$

注意 1.20 (三角関数の逆数)  

$$\mathrm{cosec}\,x=\frac{1}{\sin x}\,,\quad \sec x=\frac{1}{\cos x}\,,\quad \cot x=\frac{1}{\tan x}$$

Kondo Koichi
平成18年6月27日