1.8 演習問題 〜 定数係数線形方程式

問 1.25 (定数係数斉次線形方程式)   次の方程式の一般解を求めよ．
    (1)    $y''-y=0$     (2)     $y''-y'-2y=0$     (3)     $y''-y'-6y=0$     (4)    $y''+y=0$
    (5)     $y''+y'-2y=0$     (6)     $y''+y'-6y=0$     (7)     $3y''-y'-2y=0$     (8)     $y''-2y'+2y=0$
    (9)     $y''-2y'-3y=0$     (10)     $y''-2y'+5y=0$     (11)     $2y''-2y'+y=0$
    (12)     $2y''-2y'+5y=0$     (13)     $y''+2y'-y=0$     (14)     $y''+2y'+y=0$
    (15)     $y''+2y'+2y=0$     (16)     $y''+2y'-3y=0$     (17)     $y''+2y'+2y=0$
    (18)     $y''+2y'+5y=0$     (19)     $y''+2y'+10y=0$     (20)     $2y''+2y'+y=0$
    (21)     $3y''+2y'-y=0$     (22)     $y''-3y'+2y=0$     (23)     $y''-3y'+3y=0$
    (24)     $y''+3y'-4y=0$     (25)     $2y''+3y'+y=0$     (26)    $y''-4y=0$     (27)     $y''-4y'+3y=0$
    (28)     $y''-4y'+4y=0$     (29)    $y''+4y=0$     (30)     $y''+4y'+4y=0$     (31)     $y''+4y'-5y=0$
    (32)     $y''+5y'-6y=0$     (33)     $2y''-5y'+3y=0$     (34)     $2y''-5y'+4y=0$
    (35)     $y''-6y'+8y=0$     (36)     $y''-6y'+9y=0$     (37)     $y''-6y'+13y=0$
    (38)     $y''+6y'+9y=0$     (39)     $2y''+6y'+5y=0$     (40)     $y''-7y'+12y=0$
    (41)     $y''-8y'+15y=0$     (42)     $y''-8y'+16y=0$     (43)     $y''-8y'+32y=0$
    (44)    $y''+9y=0$     (45)     $4y''-12y'+9y=0$     (46)    $y''-ay'=0$ ($a\neq0$)
    (47)     $y''+a^2y=0$ ($a\neq0$)     (48)     $y''-2\omega y'+\omega^2y=0$     (49)     $y''+(\alpha+\beta)y'+\alpha\beta\,y=0$
    (50)     $y'''-3y''+4y=0$     (51)     $y'''+3y''+4y'+2y=0$     (52)     $y''+2y'-3y=0$
    (53)     $y'''+3y''+3y'+y=0$     (54)     $y'''-3y''+2y'=0$     (55)     $y'''+y''-2y'+12y=0$
    (56)     $y'''+y''+y'-3y=0$     (57)     $y'''+3y''+3y'+y=0$     (58)     $y'''-3y''+2y'=0$
    (59)     $y'''-6y''+11y'-6y=0$     (60)     $y'''-2y''-5y'+6y=0$     (61)     $y'''-3y''+3y'-y=0$

問 1.26 (定数係数非斉次線形方程式)   次の方程式の一般解を求めよ．
    (1)     $y'-y=\sin x$     (2)     $y'+y=x^2+x-1$     (3)     $y'-2y=xe^{2x}$     (4)     $y''-y'=e^{2x}$
    (5)     $y''-y'-2y=x$     (6)     $y''-y'-2y=x^2-x$     (7)     $y''-y'-2y=\sin x$     (8)     $y''+y'=e^{-x}$
    (9)     $y''+y=cx\sin x$     (10)     $y''+y'-2y=be^{x}$     (11)     $y''+y'-2y=be^{-x}$
    (12)     $y''+y'-6y=e^{3x}$     (13)     $y''+y'-6y=\cos x$     (14)     $y''-2y'+y=e^{x}$
    (15)     $y''-2y'+2y=x^2-1$     (16)     $y''-2y'+2y=e^{x}\sin x$     (17)     $y''-2y'+2y=2e^{x}\cos x$
    (18)     $y''-2y'-3y=e^{-x}$     (19)     $y''-2y'-3y=e^{-x}+x$     (20)     $y''-2y'+5y=x$
    (21)     $y''-2y'+5y=e^{x}$     (22)     $y''-2y'+5y=\sin x$     (23)     $y''+2y'-3y=x^2$
    (24)     $y''+2y'-3y=e^{2x}$     (25)     $y''+2y'-3y=\cos x$     (26)     $y''+2y'-3y=e^{x}\sin x$
    (27)     $y''+2y'-8y=e^{2x}$     (28)     $y''-3y'+2y=2$     (29)     $y''-3y'+2y=2x-1$
    (30)     $y''-3y'+2y=e^{x}$     (31)     $y''-3y'+2y=\cos x$     (32)     $y''-3y'+2y=\cos 2x$
    (33)     $y''-3y'+2y=2\cos x+3e^{x}$     (34)     $y''-3y'+2y=xe^{x}$     (35)     $y''-3y'+3y=e^{x}$
    (36)     $y''+3y'=e^{3x}+x$     (37)     $2y''+3y'+y=ax$     (38)     $y''-4y'=x+x^2+\sin x$
    (39)     $y''-4y'+3y=x$     (40)     $y''-4y'+3y=x^2$     (41)     $y''-4y'+3y=\cos x$
    (42)     $y''-4y'+3y=3e^{2x}+4e^{x}+2e^{3x}$     (43)     $y''-4y'+4y=e^{x}$
    (44)     $y''+4y'+y=e^{x}$     (45)     $y''-5y'-4y=x+x^2+\sin x$     (46)     $y''-6y'+8y=e^{3x}$
    (47)     $y''-6y'+9y=be^{3x}$     (48)     $y''+8y'+17y=2e^{-3x}$     (49)    $y''-y=x$
    (50)     $y''-y=e^{x}$     (51)     $y''-y=e^{2x}$     (52)     $y''-y=\sin x$     (53)     $y''-y=xe^{x}$
    (54)     $y''-y=e^{x}\sin x$     (55)    $y''+y=x$     (56)     $y''+y=\sin x$     (57)     $y''+y=\cos x$
    (58)     $y''+y=2\cos x$     (59)     $y''+y=x+x^2+\sin x$     (60)     $y''+y=x\sin x$
    (61)     $y''+y=e^{x}\sin x$     (62)     $y''+2y=x^2$     (63)    $y''-4y=1$     (64)    $y''-4y=x$
    (65)     $y''-4y=\sin x$     (66)     $y''-4y=\cos x$     (67)     $y''-4y=e^{2x}$     (68)     $y''-4y=e^{-2x}$
    (69)     $y''-\omega^2y=a+bx$     (70)     $y''-\omega^2y=ce^{\rho x}$ ( $\rho\neq\pm\omega$)     (71)     $y''-\omega^2y=ce^{\omega x}$
    (72)     $y''-\omega^2y=a+bx+ce^{\rho x}$     (73)     $y''+\omega^2y=bx$
    (74)     $y''+\omega^2 y=a\sin \Omega x$ ( $\omega\neq\Omega$)     (75)     $y'''-y=e^{2x}$     (76)     $y'''-7y'+6y=e^{x}$
    (77)     $y'''+y''+y'+y=e^{x}$     (78)     $y'''-3y''+4y=e^{2x}$     (79)     $y'''-5y''+6y'=e^{2x}$
    (80)     $y'''-5y''+2y'+8y=16x$

問 1.27 (オイラーの方程式)   次の方程式を $x=e^{t}$ と変数変換して一般解を求めよ．
    (1)     $x^2y''-2y=0$     (2)     $x^2y''-xy'+y=0$     (3)     $x^2y''-xy'+y=0$
    (4)     $x^2y''-xy'-3y=0$     (5)     $x^2y''-xy'+5y=0$     (6)     $x^2y''-xy'+y=(\log x)^2$
    (7)     $xy''-2y'=0$     (8)     $x^2y''-2xy'+2y=x^3$     (9)     $x^2y''-3xy'+3y=0$
    (10)     $x^2y''-3xy'+3y=x^3+x^4$     (11)     $x^2y''-3xy'+3y=x^5\sin x$     (12)     $x^2y''-3xy'+4y=0$
    (13)     $x^2y''-3xy'+4y=x^3+x^4$     (14)     $x^2y''-3xy'+4y=x^2+x^2\log x$
    (15)     $x^2y''-4xy'+6y=2x$     (16)     $x^2y''-4xy'+6y=0$     (17)     $x^2yy''+x^2y'^2-xyy'=0$
    (18)     $x^2y''-(2m-1)xy'+m^2y=0$     (19)     $x^2y''-(\alpha+\beta-1)xy'+\alpha\beta y=0$
    (20)     $${y''+\frac{1}{x}y'-\frac{1}{x^2}y=0}$$     (21)     $${y''-\frac{\alpha}{x}y'+\frac{\alpha}{x^2}y=0}$$
    (22)     $${y''-\frac{a}{x}y'+\frac{a}{x^2}y=bx^{\alpha}}$$ ( $\mathbb{R}\ni\alpha\neq1$)

Kondo Koichi
平成18年6月27日