3.15 ベトクルの 1 次独立の性質 〜 その 2

定理 3.63 (ベトクルの 1 次独立の性質)   ベクトル $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, $\cdots$, $\vec{v}_n\in V$ の 各ベクトルが $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_m$ の 1 次結合で表され， かつ，$n>m$ であるとき， $\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_n$ は 1 次従属である．

（証明）     ベクトル $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_m$ は $\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_n$ の 1 次結合で表されるので，

$$\left(\vec{v}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_n\right)= \left(\vec{u}_... ...\, \vec{u}_m\right)A, \qquad A= \begin{bmatrix}a_{ij} \end{bmatrix}_{m\times n}$$

と書ける． $\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_n$ の 1 次関係は

$$\vec{0} = c_1\vec{v}_1+\cdots+c_n\vec{v}_n = \left(\vec{v}_1,\,\, \cdots,... ...v}_n\right)\vec{c} = \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)A \vec{c}$$

$$= \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)\vec{\tilde{c}}$$

となる． ここで $\vec{\tilde{c}}=A\vec{c}$ とおいた． このとき $A\vec{c}=\vec{\tilde{c}}$ を $\vec{c}$ に関する方程式であると考える． $n>m\geq\mathrm{rank}\,(A)$ より $n-\mathrm{rank}\,(A)>0$ となるので， 方程式の解は $1$ 個以上の任意定数を含む． よって非自明解をもつので， $\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_n$ は 非自明な 1 次関係の係数 $\vec{c}$ をもつ．

例 3.64 (ベトクルの 1 次独立の性質)   ベクトル

$$\vec{v}_1= \begin{bmatrix}2 \\ 1 \end{bmatrix},\quad \vec{v}_2= \... ...{bmatrix},\quad \vec{v}_3= \begin{bmatrix}5 \\ -1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^2$$

は基本ベクトル $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$ を用いると

$$\vec{v}_1=2\vec{e}_1+\vec{e}_2, \qquad \vec{v}_2=4\vec{e}_1+3\vec{e}_2, \qquad \vec{v}_3=5\vec{e}_1-\vec{e}_2$$

か書けるので，

$$\left(\vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \vec{v}_3\right)= \left(2\vec... ...}2 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & -1 \end{bmatrix} = \left(\vec{e}_1,\,\, \vec{e}_2\right)A$$

となる． $\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3$ の 1 次関係は

$$( )\quad \vec{0} = c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+c_3\vec{v}_3 = \left(\vec{v}_1,\,\, \... ...vec{e}_2\right)A \vec{c} = \left(\vec{e}_1,\,\, \vec{e}_2\right)\vec{\tilde{c}}$$

となる． ここで $A\vec{c}=\vec{\tilde{c}}$ とおいた． これは $\vec{c}$ に関する方程式となみせる． (☆)は $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$ の 1 次関係ともみなせる． $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$ は 1 次独立であるから， 自明な係数 $\vec{\tilde{c}}=\vec{0}$ のみをもつ． よって $A\vec{c}=\vec{0}$ となる． $2\geq\mathrm{rank}\,(A)$ より解の任意定数の個数は $3-\mathrm{rank}\,(A)\geq 1$ となる． 以上より $\vec{c}$ は非自明な解となるから， $\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3$ は非自明な係数 $\vec{c}$ をもつ． よって， $\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3$ は 1 次従属である．

注意 3.65 (ベトクルの 1 次独立の性質)   ベクトル空間 $\mathbb{R}^m$ の $n$ 個のベクトル $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, $\cdots$, $\vec{v}_n$ は， $n>m$ のとき 1 次従属である．

定理 3.66 (ベトクルの 1 次独立の性質)   ベクトル $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$, $\cdots$, $\vec{u}_m\in V$ と 行列 $A=[a_{ij}]_{m\times n}$ に対して， 次の条件(i), (ii)が成り立つとき，$A=O$ が成り立つ．

(i).

$\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$, $\cdots$, $\vec{u}_m$ は 1 次独立．

(ii).

$\left(\vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)A= \left(\vec{0},\,\, \vec{0},\,\, \cdots,\,\, \vec{0}\right)$.

（証明）    

$$\left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)A= \left(\vec{0},\,\, \cdots,\,\, \vec{0}\right)$$

より，

$$\left. \begin{array}{r} a_{11}\vec{u}_1+\cdots+a_{m1}\vec{u}_m=\v... ...vdots\,\,\\ a_{1n}\vec{u}_1+\cdots+a_{mn}\vec{u}_m=\vec{0} \end{array} \right\}$$

となる． それぞれが $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_m$ の 1 次関係である． $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_m$ は 1 次独立であるので， 係数は自明なもののみに限る． よって $a_{ij}=0$ となり，$A=O$ を得る．

注意 3.67 ( 1 次関係)   特に $A=\vec{c}= \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_m \end{bmatrix}$ とおく． このとき

$$c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_m\vec{m}_1= \left(\vec{u}_1... ...left(\vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)\vec{c}= \vec{0}$$

となり， $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n$ の 1 次関係を得る． $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n$ が 1 次独立であれば， $\vec{c}=\vec{0}$ となる．

定理 3.68 (ベトクルの 1 次独立の性質)   ベクトル $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$, $\cdots$, $\vec{u}_m\in V$ が 1 次独立であれば，

$$\left(\vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)A= \left(\vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)B$$

のとき，$A=B$ が成立する．

（証明）    

$$\left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)A = \left(\vec{u... ...\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\right)B= \left(\vec{0},\,\, \cdots,\,\, \vec{0}\right)$$

$$\quad\Rightarrow\quad \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_m\... ...cdots,\,\, \vec{0}\right)\quad\Rightarrow\quad A-B=O \quad\Rightarrow\quad A=B.$$

例 3.69 (ベトクルの 1 次独立の性質)   ベクトル $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$, $\vec{u}_3$, $\vec{u}_4\in V$ は 1 次独立であり， ベクトル $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, $\vec{v}_3$, $\vec{v}_4\in V$ は

$$\vec{v}_1 = \vec{u}_1-\vec{u}_2+3\vec{u}_3,$$

$$\vec{v}_2 = 2\vec{u}_1-\vec{u}_2+6\vec{u}_3+\vec{u}_4,$$

$$\vec{v}_3 = 2\vec{u}_1-2\vec{u}_2+\vec{u}_3-\vec{u}_4,$$

$$\vec{v}_4 = \vec{u}_1-\vec{u}_3+3\vec{u}_4$$

により与えられているとする． このとき，

$$\left(\vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \vec{v}_3,\,\, \vec{v}_4\righ... ...bmatrix} = \left(\vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3,\,\, \vec{u}_4\right)A$$

となる． $\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_4$ の 1 次関係は

$$\vec{0} =c_1\vec{v}_1+\cdots+c_4\vec{v}_4= \left(\vec{v}_1,\,\, \cdots,\,... ...v}_4\right)\vec{c} = \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_4\right)A \vec{c}$$

$$= \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_4\right)\vec{\tilde{c}}$$

である． ここで $A\vec{c}=\vec{\tilde{c}}$ とおいた． これは $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_4$ の 1 次関係ともみなせる． $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_4$ は 1 次独立であるから， 自明な係数 $\vec{\tilde{c}}=\vec{0}$ のみをもつ． よって $A\vec{c}=\vec{0}$ が成り立つ． $A$ を簡約化すると $A\to E$ であり， $\mathrm{rank}\,(A)=4$ より， 解は自明な解 $\vec{c}=\vec{0}$ に限る． 以上より $\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_4$ は自明な係数 $\vec{c}=\vec{0}$ のみをもつので，1 次独立である．

例 3.70 (ベトクルの 1 次独立の性質)   ベクトル $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$, $\vec{u}_3$, $\vec{u}_4\in V$ は 1 次独立であり， ベクトル $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, $\vec{v}_3$, $\vec{v}_4\in V$ は

$$\vec{v}_1 = 2\vec{u}_1+\vec{u}_2-\vec{u}_3-\vec{u}_4,$$

$$\vec{v}_2 = \vec{u}_1-\vec{u}_2+2\vec{u}_3+\vec{u}_4,$$

$$\vec{v}_3 = \vec{u}_1-\vec{u}_2+\vec{u}_3-\vec{u}_4,$$

$$\vec{v}_4 = 2\vec{u}_1+\vec{u}_2-2\vec{u}_3-3\vec{u}_4$$

により与えられているとする． このとき，

$$\left(\vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \vec{v}_3,\,\, \vec{v}_4\righ... ...bmatrix} = \left(\vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3,\,\, \vec{u}_4\right)A$$

となる． $\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_4$ の 1 次関係は

$$\vec{0} =c_1\vec{v}_1+\cdots+c_4\vec{v}_4= \left(\vec{v}_1,\,\, \cdots,\,... ...v}_4\right)\vec{c} = \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_4\right)A \vec{c}$$

$$= \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_4\right)\vec{\tilde{c}}$$

である． ここで $A\vec{c}=\vec{\tilde{c}}$ とおいた． これは $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_4$ の 1 次関係ともみなせる． $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_4$ は 1 次独立であるから， 自明な係数 $\vec{\tilde{c}}=\vec{0}$ のみをもつ． よって $A\vec{c}=\vec{0}$ が成り立つ． $A$ を簡約化すると

$$A\quad\to\quad \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

であり， $\mathrm{rank}\,(A)=3$ より， 解は非自明な解

$$\vec{c}= \begin{bmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ c_4 \end{bmatrix} = ... ...rix} = c \begin{bmatrix}-1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad c\in\mathbb{R}$$

をもつ． よって $\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_4$ の 1 次関係は

$$\vec{0} = -c\vec{v_1} +c\vec{v_2} -c\vec{v_3} +c\vec{v_4}$$

$$\vec{0} = -\vec{v_1} +\vec{v_2} -\vec{v_3} +\vec{v_4}$$

となる． 非自明な 1 次関係であるから， $\vec{v}_1,\cdots,\vec{v}_4$ は 1 次従属である．

Kondo Koichi
平成18年1月17日