5.3 固有空間

注意 5.5 (固有ベクトルの定数倍の任意性)   線形変換 $f$ の固有値を $\lambda$ とし， 固有値 $\lambda$ に属する固有ベクトルを $\vec{u}_0$ とする． つまり $f(\vec{u}_0)=\lambda\vec{u}_0$ が成り立つ． このとき，$\vec{u}_0$ の定数 $c\,(\neq0)$ 倍の ベクトル $\vec{u}=c\vec{u}_0$ を考える． ベクトル $\vec{u}$ もまた $\lambda$ に属する $f$ の固有ベクトル となる． なぜなら，

$$f(\vec{u})=f(c\vec{u}_0)=c\,f(\vec{u}_0)= c\,(\lambda\vec{u}_0)=\lambda\,(c\vec{u}_0)= \lambda\vec{u}$$

が成り立つからである． これより固有ベクトルには定数倍に任意性がある．

定義 5.6 (固有空間)   ベクトル空間 $V$ における線形変換 $f:V\to V$ の 固有値を $\lambda$ とする． このとき

$$W(\lambda; f)= \left\{\left.\,{\vec{u}\in V}\,\,\right\vert\,\,{f(\vec{u})=\lambda\vec{u}}\,\right\}$$

を $f$ の固有値 $\lambda$ の固有空間（eigenspace）という．

注意 5.7 (固有空間)   固有ベクトルは $\vec{0}$ を除外しているが， 固有空間では $\vec{0}$ を含むことに注意する．

定理 5.8 (固有空間は部分空間)   固有空間 $W(\lambda; f)$ は $V$ の部分空間である．

（証明）     (i) $f(\vec{0})=\lambda\vec{0}=\vec{0}$ より $\vec{0}\in W(\lambda; f)$ となる． (ii) $\vec{u},\vec{v}\in W(\lambda;f)$ のとき $f(\vec{u})=\lambda\vec{u}$, $f(\vec{v})=\lambda\vec{v}$ が成り立つ． このとき $\vec{u}$, $\vec{v}$ に対して

$$f(\vec{u}+\vec{v})=f(\vec{u})+f(\vec{v})= \lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}= \lambda(\vec{u}+\vec{v})$$

が成り立つので $\vec{u}+\vec{v}\in W(\lambda;f)$ となる． (iii) $\vec{u}\in W(\lambda;f)$ のとき $f(\vec{u})=\lambda\vec{u}$ が成り立つ． このとき $c\in K$ に対して

$$f(c\vec{u})=c f(\vec{u})=c(\lambda\vec{u})= \lambda(c\vec{u})$$

が成り立つので $c\vec{u}\in W(\lambda;f)$ となる． 以上より(i), (ii), (iii)が成り立つので $W(\lambda; f)$ は $V$ の 部分空間である．

Kondo Koichi
平成18年1月17日