5.1 線形変換で向きが変わらないベクトル

線形変換 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;$ $\vec{y}=\begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\vec{x}$ を 考える． $\vec{x}={\begin{bmatrix}1 & 0 \end{bmatrix}}^{T}$ のとき

$$\vec{y}=f\left( \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix} \right) = \be... ...} = \begin{bmatrix}3 \\ 0 \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

となり，元のベクトルから向きを変えず $3$ 倍のベクトルに写させる． $\vec{x}={\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix}}^{T}$ のときでは

$$\vec{y}=f\left( \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix} \right) = \be... ...} = \begin{bmatrix}0 \\ 2 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

となり，元のベクトルから向きを変えず $2$ 倍のベクトルに写させる． その他のベクトルでは写されたベクトルとの向きが変わる． 例えば $\vec{x}={\begin{bmatrix}1 & 1 \end{bmatrix}}^{T}$ のときでは

$$\vec{y}=f\left( \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix} \right) = \be... ...n{bmatrix}3 \\ 2 \end{bmatrix} \neq \lambda \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

となり，元のベクトルと向きが変わる．

同様に他の線形変換 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;$ $\vec{y}=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}\vec{x}$ の 場合を考える． このとき

$$\vec{y}=f\left( \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix} \right)= \beg... ...bmatrix}2 \\ -2 \end{bmatrix} \neq \lambda \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix},$$

$$\vec{y}=f\left( \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix} \right)= \begin{bmatrix}3 \\ 0 \end{bmatrix} \neq \lambda \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix},$$

$$\vec{y}=f\left( \begin{bmatrix}2 \\ 1 \end{bmatrix} \right)= \beg... ... \begin{bmatrix}-3 \\ 6 \end{bmatrix} = -3 \begin{bmatrix}1 \\ -2 \end{bmatrix}$$

となる． ベクトル ${\begin{bmatrix}2 & 1 \end{bmatrix}}^{T}$ は 向きを変えず元のベクトルの $2$ 倍のベクトルに写される． ベクトル ${\begin{bmatrix}1 & -2 \end{bmatrix}}^{T}$ は 向きを変えず元のベクトルの $-3$ 倍のベクトルに写される． その他のベクトルは元のベクトルに対して向きを変える．

線形変換には向きを変えないベクトルが存在する． そのベクトルは線形変換それぞれに対して固有に定まる． このベクトルのことを固有ベクトルという． また，定数倍の定数のことを固有値という．

Kondo Koichi
平成18年1月17日