5.5 三角関数のマクローリン級数

例 5.10 (三角関数のテイラー級数)  

$$\sin x = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}= x-\frac{... ...cdots+ \frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots \quad (\vert x\vert<\infty)\,.$$ (596)

$$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}= 1-\frac{x^2}{2... ...{4!}+\cdots+ \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}+\cdots \quad (\vert x\vert<\infty)\,.$$ (597)

（導出） $f(x)=\sin x$ とおく． 導関数を計算すると

$$f(x)=\sin x\,,\quad f'(x)=\cos x\,,\quad f''(x)=-\sin x\,,\quad f'''(x)=-\cos x\,,\quad f^{(4)}(x)=\sin x\,,\quad \cdots$$ (598)

である．一般的に書くと

$$f^{(n)}(x) = \left\{\begin{array}{cl} \sin x & (n=4k) \\ \cos x & (n=4k+1) \... ...x & (n=4k+2) \\ -\cos x & (n=4k+3) \end{array}\right. \qquad (k=0,1,2,3,\cdots)$$ (599)

である．点 $x=0$ における微分係数は

$$f^{(n)}(0) = \left\{\begin{array}{cl} 0 & (n=4k) \\ 1 & (n=4k+1) \\ 0 & (n=4k+2) \\ -1 & (n=4k+3) \end{array}\right. \qquad (k=0,1,2,3,\cdots)$$ (600)

と求まる． これを用いてテーラー級数を求めると

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$ (601)

$$\qquad (n=4k,n=4k+1,n=4k+2,n=4k+3;k=0,1,2,\cdots)$$ (602)

$$= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(4k)}(0)}{(4k)!}x^{4k}+ \sum_{k=0}^... ...(0)}{(4k+2)!}x^{4k+2}+ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(4k+3)}(0)}{(4k+3)!}x^{4k+3}$$ (603)

$$= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)!}x^{4k+1} + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{-1}{(4k+3)!}x^{4k+3}$$ (604)

$$= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2(2k)+1)!}x^{2(2k)+1} + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{-1}{(2(2k+1)+1)!}x^{2(2k+1)+1}$$ (605)

$$\qquad (l=2k,l=2k+1;k=0,1,2,\cdots)$$ (606)

$$= \sum_{l=0}^{\infty}\frac{(-1)^{l}}{(2l+1)!}x^{2l+1}$$ (607)

$$\qquad (l=n-1;n=1,2,3,\cdots)$$ (608)

$$= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}x^{2n-1}$$ (609)

を得る． 収束半径を求める．

$$c_{n} =\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}$$ (610)

とおくと

$$r = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert = ... ... \frac{(2n+1)!}{(-1)^{n}}\right\vert= \lim_{n\to\infty} \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!}$$ (611)

$$= \lim_{n\to\infty} (2n+1)(2n) = \lim_{n\to\infty} (4n^2+2n) =\infty$$ (612)

が得られる．

Kondo Koichi
平成17年8月31日