4.14 正項級数に関するダランベールの収束判定法

定理 4.57 (ダランベールの収束判定法)   正項級数 $${\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\ (a_{n}\geq0)}$$ は， 極限

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=L$$ (525)

により，級数の収束性の判定ができる：

(i)

$0\leq L<1$ のとき， $\sum a_{n}$ は収束する．

(ii)

$L>1$ のとき， $\sum a_{n}$ は発散する．

(iii)

$L=1$ のとき， $\sum a_{n}$ の収束性は判定できない．

例 4.58 (ダランベールの判定法の具体例)   級数

$$S = 1+\vert x\vert+ \frac{\vert x\vert^2}{2}+ \frac{\vert x\vert^3}... ...= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\vert x\vert^{n-1}}{(n-1)!} \qquad (x\in\mathbb{R})$$ (526)

を考える． $${a_{n}=\frac{\vert x\vert^{n-1}}{(n-1)!}>0}$$ であるから， $S$ は正項級数である． よって

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}= \lim_{n\to\infty} \frac{... ...} \frac{(n-1)!}{\vert x\vert^{n-1}}= \lim_{n\to\infty} \frac{\vert x\vert}{n}=0$$ (527)

が成り立つので，ダランベールの判定法より級数は収束する．

例 4.59 (ダランベールの判定法で判定できない例)   調和級数 $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}$$ を考える． 隣り合う項の比の極限は

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}\times\frac{n}{1}= \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1$$ (528)

となるのでダランベールの判定法定法では判定できない． 前述のように別の方法で行う．

Kondo Koichi
平成17年8月31日