3.5 自然数巾の巾関数の微分

定理 3.13 (巾関数の微分)  

$$\frac{d}{dx}\,x^{n}=n\,x^{n-1} \quad( n )$$ (231)

問 3.14   これを示せ．

（証明） $y=f(x)=x^{n}$ とおき定義に従い計算すると，

$$\frac{dy}{dx}=f'(x)= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}$$ (232)

を得る．ここで

$$(x+h)^n = \sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}\,x^{n-k}h^{k}$$ (233)

$$= x^n+n\,x^{n-1}h+\frac{1}{2}n(n-1)\,x^{n-2}h^2+\cdots+n\,xh^{n-1}+h^{n}$$ (234)

$$=x^{n}+n\,x^{n-1}h+h^2\sum_{k=2}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}\,x^{n-k}h^{k-2}$$ (235)

であることを用いると

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \frac{(x+h)^n-x^n}{h}= n\,x^{n-1}+h\left\{\sum_{k=2}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}\,x^{n-k}h^{k-2}\right\}$$ (236)

となる． $h\to0$ のとき $n\,x^{n-1}$ の項は生き残り， その後ろの項は消える． よって

$$\frac{dy}{dx}=f'(x)= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= n\,x^{n-1}$$ (237)

を得る．

Kondo Koichi
平成17年8月31日